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• 前言
• 經典容斥原理
• 廣義二項式反演/廣義容斥
• min-max 容斥

所謂二項式反演，就是對兩個項的式子進行反演。

（逃）

前言

期望和容斥是我的感性二兄弟！
之前的容斥我基本也都是靠感性理解做的…
感性理解就會導致：考場上試著寫出一個式子，不知道它對不對。
然后就會有寫出正確式子但是不敢敲代碼，或者敲了半天過不去樣例才明白自己的式子是錯的（甚至還懷疑是不是代碼寫掛了）這樣的悲劇發生（我都經歷過）
前天差不多搞完了期望，今天輪到容斥了！
讓我們暫時放下感性，擁抱數學。

PS：本篇有大量的數學語言，其中的一些變換來自與對式子實質的理解，直接硬看可能難以明白。建議看清楚大致思路后就按照自己的路子推一遍。（因為我就是這么做的）

經典容斥原理

我本來想叫它狹義容斥，但似乎有點瞧不起它…
就像經典力學不叫狹義力學一樣。
抽象的內容如下：
假設有 $k$ 個性質，滿足每個性質的集合分別為 $A_{1...k}$，$S=\{A_i|1\le i\le k\}$，那么就有：
$$|\underset{i=1}{\overset{k}{?}}{A}_i|=\sum _{T?S}(?1{)}^{|T|}\times |\underset{i=1}{\overset{|T|}{?}}\overline{T_i}|$$
證明：
設 $G_P=\{x|?A_i\in P,x\in A_i,?A_i\in /P,x\in /A_i\}$，也就是恰好滿足性質集合 $P$ 的元素集合。
考慮每個 $G$ 集合的統計次數，就有：
$$\begin{gathered} \sum _{T?S}(?1{)}^{|T|}\times |\underset{i=1}{\overset{|T|}{?}}\overline{T_i}|=\sum _{P?S}|G_P|\sum _{T\cap P=?}(?1{)}^{|T|} \\ =\sum _{P?S}|G_P|\sum _{T?\bar{P}}(?1{)}^{|T|}=\sum _{P?S}{G}_P[\bar{P}=?] \\ =|\underset{i=1}{\overset{k}{?}}{A}_i| \end{gathered}$$
證畢。

廣義二項式反演/廣義容斥

通常是用來進行至多和恰好之間的轉化。

本人非常不喜歡廣義容斥這個名字。
因為感覺它有誤導性，我很長時間都是按照容斥的角度硬理解，但是就用容斥三個圈套來套去的那點東西，把組合數說成幾個里面選幾個，硬考慮統計次數，似乎很難講明白，也許其實也可以那么理解，只是我不會qwq。
我感覺還是從它的另一個叫法：廣義二項式反演 的角度來理解更加簡單。
定義 $f_x$ 為至少選 $x$ 個元素的方案數，$g_x$ 為恰好選 $x$ 個元素的方案數。
則有：
$$f_x=\sum _{i=x}^n{C}_i^x{g}_i$$
然而，通常情況下，$g$ 的值較難求出，而 $f$ 的值相對簡單，這是就需要進行反演用 $f$ 求 $g$：
$$g_x=\sum _{i=x}^n(?1{)}^{i?x}{C}_i^x{f}_i$$
證明：
$$\sum _{i=x}^n(?1{)}^{i?x}{C}_i^x{f}_i$$
$$=\sum _{i=x}^n(?1{)}^{i?x}{C}_i^x\sum _{j=i}^n{C}_j^i{g}_j$$
$$=\sum _{j=x}^n{g}_j\sum _{i=x}^j(?1{)}^{i?x}{C}_i^x{C}_j^i$$
$$=\sum _{j=x}^n{g}_j\sum _{i=x}^j(?1{)}^{i?x}{C}_j^x{C}_{j?x}^{i?x}$$
$$=\sum _{j=x}^n{C}_j^x{g}_j\sum _{i=0}^{j?x}(?1{)}^i{C}_{j?x}^i?1^{(j?x)?i}$$
$$=\sum _{j=x}^n{C}_j^x{g}_j[j=x]$$
$$=g_x$$
證畢。

類似的，若 $f_x$ 為至多選 $x$ 個元素的方案數，$g_x$ 為恰好選 $x$ 個元素的方案數。
則有：
$$f_x=\sum _{i=0}^n{C}_x^i{g}_i$$

$$g_x=\sum _{i=0}^x(?1{)}^{x?i}{C}_x^i{f}_i$$
證法類似。

min-max 容斥

感覺換湯不換藥。
給出式子：
$$\max (S)=\sum _{T?S}(?1{)}^{|T|}\min (T)$$
$$\min (S)=\sum _{T?S}(?1{)}^{|T|}\max (T)$$
這里只給出第一個式子的證明，第二個式子的證明較為類似。
考慮最大值 $\max (S)$，它成為最小值產生貢獻當且近當 $T=\{\max (S)\}$，顯然只會產生一次正貢獻。
而對于不是最大值的元素 $x\in S$，設比它大的元素的個數為 $k$，那么它成為最小值產生貢獻當且近當 $T$ 為前 $k$ 個元素的某個子集并上 $\{x\}$，那么它的系數就是：
$$\sum _{i=0}^x\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{i}\right)(?1{)}^i$$
二項式反演一下：
$$\sum _{i=0}^x\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{i}\right)(?1{)}^i=\sum _{i=0}^x(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{i})(?1{)}^i(1{)}^{x?i}=(1?1{)}^x=0$$
所以所有不是最大值的元素的貢獻都是0。
那么最后西格瑪的結果就是 $\max (S)$。

注意：這個式子當最小值不唯一的時候依然成立，$\min (T)$ 的含義就變為了所有并列最小值的和。但是所求的最大值必須唯一！

總結

以上是生活随笔為你收集整理的模板：广义二项式反演/广义容斥（组合数学）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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