枚舉倍數的一種靈活的變形：$g(d)={\sum }_{d|i}^{n}f(i)={\sum }_{i=1}^{?\frac{n}{d}?}f(i?d)$
很顯然，但有時能發揮大作用。
其實本質還是要理解西格瑪究竟是在算什么

解析

一個重要的前置結論：
$$d(i?j)=\sum _{x|i,y|j}[\gcd (x,y)=1]$$
證明：
嘗試把所有互質的數對 $(x,y)$ 和 $i?j$ 的所有因子建立雙射關系。首先，對于只有 $i,j$ 一方有的質因子，直接歸給有該項質因子的那一方對應的 $x$ 或 $y$。對于雙方都有的質因子 $p$，若 $i$ 的對應次數為 $a$，$j$ 的對應次數為 $b$，如果 $i?j$ 的某個因子 $p$ 的次數 $c$ 滿足 $c\le a$，就當成 $x$ 含有 $p^c$ 的因子；若 $c>a$，就當成 $y$ 含有 $p^{c?a}$ 次方的因子。這樣我們就建立起了雙射關系，且所有的 $x,y$ 都是互質的，證畢。

我們再化一下這個 $d$ 函數：
$$\begin{gathered} d(i,j)=\sum _{x|i}\sum _{y|j}[\gcd (i,j)=1] \\ =\sum _{x|i}\sum _{y|j}\sum _{k|\gcd (x,y)}\mu (k) \\ =\sum _{k|i,k|j}\mu (k)\sum _{k|x,x|i}\sum _{k|y,y|j}1 \\ =\sum _{k|i,k|j}\mu (k)\sum _{x|\frac{i}{k}}^{\frac{i}{k}}\sum _{y|\frac{j}{k}}^{\frac{j}{k}}1 \\ =\sum _{k|i,k|j}\mu (k)d(\frac{i}{k})d(\frac{j}{k}) \end{gathered}$$
帶回原式：
$$\begin{gathered} \sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{m}d(ij)=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m\sum _{k|i,k|j}\mu (k)d(\frac{i}{k})d(\frac{j}{k}) \\ =\sum _k\mu (k)\sum _{k|i}^n\sum _{k|j}^{m}d(\frac{i}{k})d(\frac{j}{k}) \\ =\sum _k\mu (k)\sum _{i=1}^{?\frac{n}{k}?}\sum _{j=1}^{?\frac{m}{k}?}d(i)d(j) \\ =\sum _k\mu (k)(\sum _{i=1}^{?\frac{n}{k}?}d(i))?(\sum _{j=1}^{?\frac{m}{k}?}d(j)) \end{gathered}$$
線性篩出 $\mu ,d$，預處理出前綴和，整除分塊即可。

代碼

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define ll long long #define ull unsigned long long #define debug(...) fprintf(stderr,__VA_ARGS__) inline ll read(){ll x(0),f(1);char c=getchar();while(!isdigit(c)) {if(c=='-')f=-1;c=getchar();}while(isdigit(c)) {x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0';c=getchar();}return x*f; } const int N=1e5+100; int n,m;int p[N],tot,vis[N],mu[N],msum[N],d[N]; ll dsum[N]; void init(int n){mu[1]=1;d[1]=1;for(int i=2;i<=n;i++){if(!vis[i]) p[++tot]=i,mu[i]=-1,d[i]=2;for(int j=1;j<=tot&&p[j]<=n/i;j++){vis[i*p[j]]=1;if(i%p[j]==0){mu[i*p[j]]=0;d[i*p[j]]=d[i]+d[i]-d[i/p[j]];break;}mu[i*p[j]]=-mu[i];d[i*p[j]]=d[i]*2;}}for(int i=1;i<=n;i++){msum[i]=msum[i-1]+mu[i];dsum[i]=dsum[i-1]+d[i];}return; }signed main() { #ifndef ONLINE_JUDGE//freopen("a.in","r",stdin);//freopen("a.out","w",stdout); #endifinit(5e4);int T=read();while(T--){n=read();m=read();ll ans(0);for(int l=1,r;l<=min(n,m);l=r+1){r=min(n/(n/l),m/(m/l));ans+=(msum[r]-msum[l-1])*dsum[n/l]*dsum[m/l];}printf("%lld\n",ans);}return 0; } /* 5 5 8 1 46 3564 */

總結

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