正題

題目鏈接:https://www.luogu.com.cn/problem/P8207

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題目大意

有編號為$[L,R]$區(qū)間的點(diǎn)，連接兩個(gè)點(diǎn)$x,y$邊權(quán)的為$LCM(x,y)$，求這張圖的最小生成樹。

$1\le L\le R\le 10^6,R?L\le 10^5$

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解題思路

我們有一個(gè)結(jié)論： 對于張圖$G$中的一個(gè)生成子圖$E$，$E$之中的一條邊$k$如果不在$E$最小生成樹中，那么$k$肯定也不在$G$的最小生成樹中。

那么我們考慮找一些可能是答案的邊出來跑最小生成樹。

對于一個(gè)$i$我們提取出所有它倍數(shù)的點(diǎn)，對于點(diǎn)$ik$來說它肯定不會去連接某個(gè)$i{k}^{\prime }$如果存在另一個(gè)更小的$i{k}^{\prime \prime }$的話，因?yàn)檫@條邊顯然不在這張圖的最小生成樹中。

所以我們可以對于一個(gè)點(diǎn)$x$的每個(gè)約數(shù)$d$，我們只連接一個(gè)最小的$d\times k$，然后把這些邊拿出來跑$Kruskal$就好了。

時(shí)間復(fù)雜度：$O(n{\log }^{2}n)$

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code

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #define ll long long using namespace std; struct node{ll x,y,w; }e[11000000]; ll L,R,ans,m,fa[1100000]; bool cmp(node x,node y) {return x.w<y.w;} ll find(ll x) {return (fa[x]==x)?x:(fa[x]=find(fa[x]));} signed main() {scanf("%lld%lld",&L,&R);for(ll i=1;i<=R;i++){for(ll j=i;j<=R;j+=i){if(j>=L){ll p=(L+i-1)/i*i;if(p==j)continue;e[++m]=(node){j,p,j*p/i};}}}sort(e+1,e+1+m,cmp);for(ll i=L;i<=R;i++)fa[i]=i;for(ll i=1;i<=m;i++){ll x=find(e[i].x),y=find(e[i].y);if(x==y)continue;ans+=e[i].w;fa[x]=y;}printf("%lld\n",ans);return 0; }

總結(jié)

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