正題

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題目大意

給出$k$，求有多少個集合$S$滿足$S?[1,k]$且
$$a\in S,b\in S?axorb\in S$$

$1\le k\le 10^9$

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解題思路

發現這個性質和線性基的很像，問題可以轉換為問有多少個本質不同的線性基最大異或和不超過$k$。

在我們求$k$大異或和的時候我們把所有相同的線性基轉換成了一個相同的形式滿足對于它的數組$d$：

• $d_i$如果不是零那么其第$i$位是$1$且對于所有$j=i$都有$d_j$的第$i$位為$0$。

此時統計這種線性基的數量就不會算重了，并且全部的$d$異或起來一定是最大的。

然后然后就$dp$了，設$f_{i,j,0/1}$表示到二進制第$i$位，前面有$j$個$d$不是$0$，現在的異或和的前$i$位到達/每到達$k$的上限。

轉移的時候對于一位$d$，如果填$0$那么就需要考慮前面的$d$有多少個加上這一位。為了方便轉移可以預處理一下$g_i$表示$i$個東西選出奇數個的方案就好了。

時間復雜度$O({\log }^{2}k)$

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code

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #define ll long long using namespace std; const ll P=1e9+7,N=35; ll n,ans,f[N][N][2],C[N][N],g[N]; signed main() {C[0][0]=1;for(ll i=1;i<N;i++)for(ll j=0;j<=i;j++)C[i][j]=(C[i-1][j]+(j?C[i-1][j-1]:0))%P;for(ll i=1;i<N;i++)for(ll j=1;j<=i;j+=2)g[i]+=C[i][j];scanf("%lld",&n);f[30][0][1]=1;for(ll i=29;i>=0;i--)for(ll j=0;j<30-i;j++){if((n>>i)&1){(f[i][j+1][1]+=f[i+1][j][1]%P)%=P;(f[i][j][1]+=f[i+1][j][1]*g[j]%P)%=P;(f[i][j+1][0]+=f[i+1][j][0]%P)%=P;(f[i][j][0]+=f[i+1][j][0]*(1ll<<j)%P+f[i+1][j][1]*((1ll<<j)-g[j])%P)%=P;}else{(f[i][j][1]+=f[i+1][j][1]*((1ll<<j)-g[j])%P)%=P;(f[i][j+1][0]+=f[i+1][j][0]%P)%=P;(f[i][j][0]+=f[i+1][j][0]*(1ll<<j)%P)%=P;}}for(ll j=0;j<30;j++)(ans+=f[0][j][0]+f[0][j][1])%=P;printf("%lld\n",ans);return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的CF388D-Fox and Perfect Sets【dp,线性基】的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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