正題

題目鏈接:https://atcoder.jp/contests/arc106/tasks/arc106_e

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題目大意

$n$個員工，第$i$個在$[1,A_i]$工作，$[A_i+1,2\times A_i]$休息，$[2\times A_i+1,3\times A_i]$工作…以此類推。

然后每天可以為一個在工作的人發一枚獎牌，至少多少天才能讓每個人都有$k$塊獎牌。

$1\le n\le 18,1\le k,A_i\le 10^5$

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解題思路

首先答案上限顯然是$2\times n\times 10^5$（就是每個人輪流發）

然后考慮一個暴力的做法。先二分，然后把每天看做一個右邊的點，每個員工看做$k$個左邊的點，然后一個員工干活的天就連邊，之后暴力跑網絡流。

這樣顯然會$T$但是這是一個正解的啟示。

首先我們先拓寬一下$hall$定理，原來是$2\times k$個點的二分圖匹配左邊任意$k$個點都和右邊至少$k$個點匹配是這張圖有完全匹配的充要條件，但是不難發現如果右邊多加了幾個點顯然還是滿足條件的。

所以上面那個可以理解為左邊任意$k$個點都和右邊至少有$k$條連邊，然后不難發現段其實只有$2^n$種不同的，所以我們直接二分一個答案然后設$f_s$表示包含集合$s$的段匹配了多少個點。

如果$f_s<|s|\times k$就無解了，然后$f_s$要用高維前綴和或者$FWT$做就好了。

時間復雜度$O(2^{n}n\log nk)$

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code

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #define ll long long using namespace std; const ll N=18; ll n,k,a[N],bit[1<<N],f[1<<N],s[N*200000]; bool check(ll t){ll MS=(1<<n);memset(f,0,sizeof(f));for(ll i=1;i<=t;i++)f[MS-1]++,f[s[i]^(MS-1)]--;for(ll i=0;i<n;i++)for(ll j=0;j<MS;j++)if(j&(1<<i))f[j^(1<<i)]+=f[j];for(ll i=0;i<MS;i++)if(f[i]<bit[i]*k)return 0;return 1; } signed main() {scanf("%lld%lld",&n,&k);for(ll i=0;i<n;i++)scanf("%lld",&a[i]);ll MS=(1<<n),L=2*n*1e5;for(ll i=1;i<MS;i++)bit[i]=bit[i-(i&-i)]+1;for(ll i=1;i<=L;i++)for(ll j=0;j<n;j++)if((i-1)%(a[j]<<1)<a[j])s[i]|=(1<<j);ll l=1,r=L;while(l<=r){ll mid=(l+r)>>1;if(check(mid))r=mid-1;else l=mid+1;}printf("%lld\n",l);return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的ARC106E-Medals【hall定理,高维前缀和】的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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