正題

題目鏈接:https://www.luogu.com.cn/problem/AT2390

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解題思路

$n$個點的$DAG$，$m$條邊可有可無，$1$和$2$上有石頭。求有多少種方案使得先手必勝。

$1\le n\le 15,1\le m\le \frac{n(n?1)}{2}$

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解題思路

這個復(fù)雜度比較麻煩，要設(shè)計一個比較巧妙的$dp$。

考慮到題目是問多少種情況$SG(1)=SG(2)$，其實求$SG(1)=SG(2)$的方案會更簡單些。

設(shè)$f_S$表示目前只考慮了生成子圖$S$時$SG(1)=SG(2)$的方案數(shù)，那么若從$T$轉(zhuǎn)移到$S$時我們可以構(gòu)造一種方案使得$T$的所有點內(nèi)的$SG$加一，然后$S/T$的所有點的$SG$為$0$。

也就相當(dāng)于我們把點按照$SG$大小分成若干層，然后一層一層轉(zhuǎn)移進(jìn)去。好了現(xiàn)在考慮怎么轉(zhuǎn)移$f_S$，我們枚舉它的子集$T$，那么$S/T$就是它的下一層，也就是目前$S/T$內(nèi)的點$SG=0$。

對于$T$內(nèi)的每個點，我們需要連接至少一個$S/T$內(nèi)的點，對于$S/T$內(nèi)的點，可以隨意連接$T$內(nèi)的點，枚舉一下點集統(tǒng)計方案就好了。

時間復(fù)雜度$O(3^{n}n)$

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code

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<vector> #define ll long long using namespace std; const ll N=15,P=1e9+7; ll n,m,ans,f[1<<N],c[1<<N],e[N]; vector<int>q[N]; signed main() {scanf("%lld%lld",&n,&m);for(ll i=1;i<=m;i++){ll x,y;scanf("%lld%lld",&x,&y);x--;y--;e[x]|=(1<<y);}ll MS=(1<<n),o=0;c[0]=1;for(ll i=1;i<MS;i++)c[i]=c[i-(i&-i)]*2;for(ll s=0;s<MS;s++){if((s&1)!=((s>>1)&1))continue;f[s]=1;for(ll t=(s-1)&s;t;t=(t-1)&s){ll buf=f[t];for(ll i=0;i<n;i++){if((t>>i)&1)buf=buf*(c[(s^t)&e[i]]-1)%P;if(((s^t)>>i)&1)buf=buf*c[t&e[i]]%P;}(f[s]+=buf)%=P;}}ll ans=1;while(m)m--,ans=ans*2%P;printf("%lld\n",(ans-f[MS-1]+P)%P);return 0; }

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的AT2390-[AGC016F]Games on DAG【状压dp,SG函数】的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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