正題

題目鏈接:https://www.luogu.com.cn/problem/P2490

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題目大意

一個長度為$n$的棋盤上放下$k$個棋子。

第一個要是白色，下一個要是黑色，在下一個是白色以此類推。

先手操控白，后手操控黑。白色只能往右，黑色只能往左。每次操作的可以移動$d$個棋子任意步。

求先手必勝的初始狀態數

$1\le d\le k\le n\le 10^4,1\le k\le 100$且$k$為偶數

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解題思路

把兩個黑白棋子之間的長度看為石頭堆就是一個$Ni{m}_k$游戲了。

$Ni{m}_k$游戲的結論就是$k+1$進制下各個位置的$1$的個數$\%(k+1)$等于$0$的話先手必敗。

因為先手必勝比較麻煩，考慮減去先手必敗的情況

這個東西和昨天的一道$ARC$的題目很像，每個位分開考慮，設$f_{i,j}$表示前$i$個位都是$0$時，用了$j$個石頭的方案。

那么轉移也十分顯然，枚舉一個選的倍數$i$然后分配到$\frac{k}{2}$個石頭堆中，方案數就是$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\frac{k}{2}}{i\times (d+1)}\right)$。

然后統計答案的時候對于石子和為$i$的貢獻就是$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n?\frac{k}{2}?i}{\frac{k}{2}}\right)$（因為每一堆的個數固定，所以選擇起點就好了）

時間復雜度$O(nk\log n)$

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code

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #define ll long long using namespace std; const ll N=1e4+10,M=110,P=1e9+7; ll n,k,d,ans,C[N][M],f[16][N]; signed main() {scanf("%lld%lld%lld",&n,&k,&d);C[0][0]=1;n-=k;k/=2;d++;for(ll i=1;i<N;i++)for(ll j=0;j<M;j++)C[i][j]=((j?C[i-1][j-1]:0)+C[i-1][j])%P;ll z=0;ans=C[n+2*k][k*2];f[0][0]=1;for(ll p=1;p<=n;p<<=1){z++;for(ll j=0;j<=n;j++)for(ll i=0;j+i*p*d<=n&&i*d<=k;i++)(f[z][j+i*p*d]+=f[z-1][j]*C[k][i*d]%P)%=P;}for(ll i=0;i<=n;i++)(ans+=P-f[z][i]*C[n+k-i][k]%P)%=P;printf("%lld\n",ans);return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的P2490-[SDOI2011]黑白棋【博弈论,dp】的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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