正題

題目鏈接:https://www.luogu.com.cn/problem/P5137

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題目大意

$T$組數據給出$n,a,b,p$求
$$\left(\sum _{0=1}^n{a}^i{b}^{n?i}\right)\%p$$

$1\le T\le 10^5,1\le n,a,b,p\le 10^{18}$

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解題思路

這個數據很大，考慮倍增求。

設為答案$f(n)$，那么有
$$f(n)=f(\frac{n}{2})(a^{\frac{n}{2}}+b^{\frac{n}{2}})?a^{\frac{n}{2}}{b}^{\frac{n}{2}}$$
$$f(n)=af(n?1)+b^n$$

倍增維護就好了

時間復雜度$O(T\log n)$

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code

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<cctype> #define ll long long using namespace std; ll n,a,b,p,T; ll read(){ll x=0,f=1;char c=getchar();while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=-f;c=getchar();}while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0';c=getchar();}return x*f; } ll fac(ll a,ll b){ll c=(long double)a*b/p;long double ans=a*b-c*p;if(ans>=p)ans-=p;else if(ans<0)ans+=p;return ans; } signed main() {T=read();while(T--){n=read();a=read();b=read();p=read();ll ans=1,k=0,B=1,A=1;for(ll i=62;i>=0;i--){ans=(fac(A,ans)+fac(B,ans))%p;ans=(ans+p-fac(A,B))%p;k*=2;B=fac(B,B);A=fac(A,A);if((n>>i)&1){k++;B=fac(B,b);A=fac(A,a);ans=(fac(ans,a)+B)%p;}}printf("%lld\n",ans);}return 0; }

總結

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