正題

題目鏈接:https://www.luogu.com.cn/problem/P5437

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題目大意

$n$個點的完全圖，連接$i,j$的邊權值為$(i+j{)}^k$。隨機選出一個生成樹，求期望邊權和。

$1\le n<998244353,1\le k\le 10^7$

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解題思路

一條邊選出來的概率是$\frac{2}{n}$（總共有$\frac{2}{n(n?1)}$條，選$n?1$條，或者$Prufer$序列也能證明）

所以現在考慮怎么求
$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n(i+j{)}^k$$
這個東西首先$f(n)={\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^{n}i+j$是一個二項式，所以$(i+j{)}^k$就是一個$k+2$次多項式，所以可以考慮用拉插。

現在是如何快速求出$1～k$的值，考慮遞推
$$f(n)?f(n?1)=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n(i+j{)}^k?\sum _{i=1}^{n?1}\sum _{j=1}^{n?1}(i+j{)}^k$$
$$=\sum _{i=n+1}^{2n?1}{i}^k$$

然后用線性篩預處理出$i^k$就好了。當然拉插也要用線性的優化

時間復雜度$O(n)$

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code

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #define ll long long using namespace std; const ll N=1e7+10,P=998244353; ll n,k,cnt,pri[N/5],w[N<<1],y[N]; ll pre[N],suf[N],inv[N],ans; bool v[N<<1]; ll power(ll x,ll b){ll ans=1;while(b){if(b&1)ans=ans*x%P;x=x*x%P;b>>=1;}return ans; } void Prime(int n){w[1]=1;for(ll i=2;i<=n;i++){if(!v[i])pri[++cnt]=i,w[i]=power(i,k);for(ll j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<=n;j++){v[i*pri[j]]=1;w[i*pri[j]]=w[i]*w[pri[j]]%P;if(i%pri[j]==0)break;}}return; } signed main() {scanf("%lld%lld",&n,&k);Prime(k*2+6);k+=3;pre[0]=suf[k+1]=inv[1]=1;y[2]=w[3];for(ll i=3;i<=k;i++)y[i]=(y[i-1]+w[i*2-1]+w[i*2-2]-w[i])%P;for(ll i=1;i<=k;i++)y[i]=(y[i-1]+y[i])%P;for(ll i=1;i<=k;i++)pre[i]=pre[i-1]*(n-i)%P;for(ll i=k;i>=1;i--)suf[i]=suf[i+1]*(n-i)%P;for(ll i=2;i<=k;i++)inv[i]=P-inv[P%i]*(P/i)%P;inv[0]=1;for(ll i=1;i<=k;i++)inv[i]=inv[i-1]*inv[i]%P;for(ll i=1;i<=k;i++)(ans+=pre[i-1]*suf[i+1]%P*inv[i-1]%P*inv[k-i]%P*y[i]%P*(((k-i)&1)?-1:1))%=P;printf("%lld\n",(ans+P)%P*power(n,P-2)%P*2%P);return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的P5437-[XR-2]约定【拉格朗日差值,数学期望】的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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