正題

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題目大意

給出$n$個點的一棵樹。

現在有一張完全圖，兩個點之間的邊權為$w_x+w_y+dis(x,y)$（$dis$表示樹上距離）

求這張完全圖的最小生成樹。

$2\le n\le 2\times 10^5,1\le w_i,c_i\le 10^9$

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解題思路

考慮可能作為最小生成樹的邊。

一個結論就是對于一個子圖。不在最小生成森林上的邊一定不在原圖的最小生成樹上。

這樣可以考慮分治，點分治之后對于根節點$x$，其他的節點定義$f_x=de{p}_x+w_x$，那么兩個點之間邊權就是$f_x+f_y$了（$x,y$屬于不同子樹），對于同一子樹的我們也加進去，因為這是不優的邊所以不會影響答案。

此時圖中的最小生成森林是其他所有點連接$f$值最小的點。

這樣我們可以處理出$n\log n$條可能的邊，在這些邊上再跑一次最小生成樹就好了。

時間復雜度$O(n{\log }^{2}n)$

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code

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #define ll long long using namespace std; const ll N=2e5+10,inf=1e18; struct node{ll to,next,w; }a[N<<1]; struct edge{ll x,y,w; }e[N<<5]; ll n,tot,mins,root,ans,num,ent; ll ls[N],f[N],siz[N],w[N],fa[N]; bool v[N]; void addl(ll x,ll y,ll w){a[++tot].to=y;a[tot].next=ls[x];ls[x]=tot;a[tot].w=w;return; } void groot(ll x,ll fa){siz[x]=1;f[x]=0;for(ll i=ls[x];i;i=a[i].next){ll y=a[i].to;if(y==fa||v[y])continue;groot(y,x);siz[x]+=siz[y];f[x]=max(f[x],siz[y]);}f[x]=max(f[x],num-siz[x]);if(f[x]<f[root])root=x;return; } void calc(ll x,ll fa,ll dep){f[x]=w[x]+dep;if(f[x]<f[mins])mins=x;for(ll i=ls[x];i;i=a[i].next){ll y=a[i].to;if(y==fa||v[y])continue;calc(y,x,dep+a[i].w);}return; } void adde(ll x,ll fa){e[++ent]=(edge){x,mins,f[x]+f[mins]};for(ll i=ls[x];i;i=a[i].next){ll y=a[i].to;if(y==fa||v[y])continue;adde(y,x);} } void solve(ll x){v[x]=1;f[x]=w[mins=x];for(ll i=ls[x];i;i=a[i].next){ll y=a[i].to;if(v[y])continue;calc(y,x,a[i].w);}e[++ent]=(edge){x,mins,f[x]+f[mins]};for(ll i=ls[x];i;i=a[i].next){ll y=a[i].to;if(v[y])continue;adde(y,x);}ll sum=num;for(ll i=ls[x];i;i=a[i].next){ll y=a[i].to;if(v[y])continue;num=(siz[y]>siz[x])?(sum-siz[x]):siz[y];root=0;groot(y,x);solve(root);}return; } bool cmp(edge x,edge y) {return x.w<y.w;} ll find(ll x) {return (fa[x]==x)?x:(fa[x]=find(fa[x]));} signed main() {scanf("%lld",&n);for(ll i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&w[i]),fa[i]=i;for(ll i=1;i<n;i++){ll x,y,w;scanf("%lld%lld%lld",&x,&y,&w);addl(x,y,w);addl(y,x,w);}num=n;f[0]=inf;groot(1,1);solve(root);sort(e+1,e+1+ent,cmp);for(ll i=1;i<=ent;i++){ll x=e[i].x,y=e[i].y;x=find(x);y=find(y);if(x!=y)ans+=e[i].w,fa[y]=x;}printf("%lld\n",ans);return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的AT3611-Tree MST【点分治,最小生成树】的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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