正題

題目鏈接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4859

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題目大意

兩個長度為$n$的序列$a,b$兩兩匹配，求$a_i>b_i$的組數比$a_i<b_i$的組數多$k$的方案數。
保證輸入數字兩兩不同

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解題思路

其實就是求恰好有$\frac{n+k}{2}$種$a_i>b_i$的匹配方案。

先設$f_{i,j}$表示到$a$的第$i$個，已經選擇了$j$組的方案。轉移起來比較麻煩，我們不知道$b$中選了哪些。

把$a$和$b$排序后，設$l_i$表示一個最大的數字使得$a_i>b_{l_i}$，然后就可以$dp$了
$$f_{i,j}=f_{i?1,j}+f_{i?1,j?1}\times (l_i?j+1)$$

之后發現我們很難固定其他配對的大小，可以考慮容斥，設$g_i$表示至少有$i$對滿足$a_i>b_i$的方案，那么有$g_i=f_i\times (n?i)!$。
然后就可以直接容斥了，因為$g_i$中有$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{k}\right)$中方案選出$k$個配對滿足，所以容斥系數就是$(?1{)}^{i?k}(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{k})$
答案就是
$$\sum _{i=k}^n(?1{)}^{i?k}(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{k})g_i$$
時間復雜度$O(n^2)$

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code

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #define ll long long using namespace std; const ll N=2100,P=1e9+9; ll n,k,C[N][N],a[N],b[N],f[N][N],g[N],l[N],ans; signed main() {scanf("%lld%lld",&n,&k);if((n+k)&1)return puts("0")&0;k=(n+k)/2;C[0][0]=1;for(ll i=1;i<=n;i++)for(ll j=0;j<=i;j++)C[i][j]=(C[i-1][j]+(j?C[i-1][j-1]:0))%P;for(ll i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&a[i]);for(ll i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&b[i]);sort(a+1,a+1+n);sort(b+1,b+1+n);for(ll i=1;i<=n;i++) for(ll j=1;j<=n;j++)if(b[j]<a[i])l[i]=j;else break;f[0][0]=1;for(ll i=1;i<=n;i++)for(ll j=0;j<=n;j++)f[i][j]=(f[i-1][j]+(j?f[i-1][j-1]*max(l[i]-j+1,0ll)%P:0))%P;for(ll i=n,s=1;i>=0;i--,s=s*(n-i)%P)g[i]=f[n][i]*s%P;for(ll i=k;i<=n;i++){ll tmp=g[i]*C[i][k]%P;(ans+=((i-k)&1)?P-tmp:tmp)%=P;}printf("%lld\n",ans);return 0; } 創作挑戰賽新人創作獎勵來咯，堅持創作打卡瓜分現金大獎

總結

以上是生活随笔為你收集整理的P4859-已经没有什么好害怕的了【容斥,dp】的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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