正題

題目鏈接:https://www.luogu.com.cn/problem/P6091

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題目大意

給出一個數$p$，求出它的所有在$[0,p]$的原根。

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解題思路

原根的定義，${\delta }_p(a)$表示一個最小的$n$使得$a^n\equiv 1(modp)$，若$gcd(a,p)=1$且${\delta }_p(a)=\phi (p)$則$a$為$p$的一個原根。

兩個個結論就是一個數有原根當且僅當它為$2,4,p^a,2p^a$（其中$p$為奇質數，$a\in N^{+}$）。還有若$g$表示最小正原根，那么其他原根可以被表示為$g^k\%p(gcd(\phi (p),k)=1)$。

這兩個結論在洛谷題解都有詳細證明，這里就不多贅述了。

那么考慮如何求出最小正原根，因為原根的數量大約有$\phi (\phi (p))$個，所以密集度比較高，據說最小正原根約是$O(n^{2.5})$級別的。

所以考慮直接枚舉，但是我們判定的時候肯定不能從$1～\phi (p)$枚舉來判斷。

我們還需要用到一個結論就是如果對于$gcd(a,p)=1$且$a^k\equiv 1(modp)$（也就是$k$是$a$模$n$的階），那么有$k|\phi (p)$。所以我們需要判定$\phi (p)$的所有因子？看起來還是很大，但是我們顯然有$a^k\equiv 1(modp)$那么$a^{kx}\equiv 1(modp)$其中$x\in N^{+}$。所以我們只需要枚舉$\frac{\phi (p)}{k}$（其中$k$是$\phi (p)$的質因子）即可，因為這些數包含了其他數的倍數。

時間復雜度$O(n^{0.25}\log n)$

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code

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<vector> #define ll long long using namespace std; const ll N=1e6+10; ll T,n,d,cnt,phi[N],pri[N]; bool v[N],rt[N]; vector<int> q; void prime(){phi[1]=1;for(ll i=2;i<N;i++){if(!v[i])pri[++cnt]=i,phi[i]=i-1;for(ll j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<N;j++){v[i*pri[j]]=1;if(i%pri[j]==0){phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];break;}phi[i*pri[j]]=phi[i]*phi[pri[j]];}}rt[2]=rt[4]=1;for(ll i=2;i<=cnt;i++){for(ll j=1;j<N;j*=pri[i])rt[j]=1;for(ll j=2;j<N;j*=pri[i])rt[j]=1;}return; } ll power(ll x,ll b,ll p){ll ans=1;while(b){if(b&1)ans=ans*x%p;x=x*x%p;b>>=1;}return ans; } ll gcd(ll x,ll y) {return (!y)?x:gcd(y,x%y);} void dec_phi(ll x){for(ll i=1;i<=cnt&&pri[i]*pri[i]<=x;i++)if(x%pri[i]==0){q.push_back(pri[i]);while(x%pri[i]==0)x/=pri[i];}if(x!=1)q.push_back(x);return; } bool check(ll x){if(power(x,phi[n],n)!=1)return 0;for(ll i=0;i<q.size();i++)if(power(x,phi[n]/q[i],n)==1)return 0;return 1; } signed main() {scanf("%lld",&T);prime();while(T--){scanf("%lld%lld",&n,&d);q.clear();if(!rt[n]){printf("0\n\n");continue;}dec_phi(phi[n]);ll g=1;while(!check(g))g++;ll tmp=1;q.clear();for(ll i=1;i<=phi[n];i++){tmp=tmp*g%n;if(gcd(phi[n],i)==1)q.push_back(tmp);}printf("%lld\n",q.size());sort(q.begin(),q.end());for(ll i=1;i<=q.size()/d;i++)printf("%lld ",q[i*d-1]);putchar('\n');}return 0; }

總結

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