正題

題目鏈接:https://www.luogu.com.cn/problem/P5488

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題目大意

求一個長度為$n$的序列的$k$階差分/前綴和。

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解題思路

先考慮前綴和怎么做
搞出來生成函數(shù)就是$$(\sum _{i=0}^n{a}_i{x}^i)?(\sum _{i=0}^{\infty }{x}^i{)}^k$$

然后根據(jù)常識我們知道$({\sum }_{i=0}^{\infty }{x}^i{)}^k={\sum }_{i=0}^{\infty }(\genfrac{}{}{0ex}{}{i+k?1}{i})x^i$，當然也可以理解為$x^i$的系數(shù)就是每次會往后跳任意格（可以是$0$），然后$k$次跳$i$步的方案數(shù)。

之后式子$$(\sum _{i=0}^n{a}_i{x}^i)?(\sum _{i=0}^{\infty }(\genfrac{}{}{0ex}{}{i+k?1}{i})x^i)$$

直接卷就好了

然后是差分，就是$$\frac{{\sum }_{i=0}^n{a}_i{x}^i}{({\sum }_{i=0}^{\infty }{x}^i{)}^k}$$
直接上多項式除法就好 。考慮怎么轉(zhuǎn)換這個式子，我們需要用生成函數(shù)的方法了，上等比數(shù)列公式就有$({\sum }_{i=0}^{\infty }{x}^i{)}^k=\frac{1}{(1?x{)}^k}$

那么它的倒數(shù)就是$(1?x{)}^k$，上二項式定理就有${\sum }_{i=0}^k(?1{)}^i(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{i})x^i$

然后也是兩個式子卷起來就好了。

然后$k$可以直接模$p$，考慮$f(k)=({\sum }_{i=0}^{\infty }{x}^i{)}^k$那么有$f(k^n)=f(k{)}^n$所以直接讓$k$模$p$即可

時間復(fù)雜度$O(n\log n)$

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$code$

#include<cstdio> #include<algorithm> #include<cstring> #define ll long long using namespace std; const ll N=(1e5)*6,P=1004535809,g=3; struct poly{ll a[N],n; }G,F; ll n,k,t,inv[N],r[N]; char s[N]; ll power(ll x,ll b){ll ans=1;while(b){if(b&1)ans=ans*x%P;x=x*x%P;b>>=1;}return ans; } void NTT(ll *f,ll op,ll n){for(ll i=0;i<n;i++)if(r[i]<i)swap(f[i],f[r[i]]);for(ll p=2;p<=n;p<<=1){ll len=(p>>1);ll tmp=power(g,(P-1)/p);if(op)tmp=power(tmp,P-2);for(ll k=0;k<n;k+=p){ll buf=1;for(ll i=k;i<k+len;i++){ll tt=buf*f[i+len]%P;f[i+len]=(f[i]-tt+P)%P;f[i]=(f[i]+tt)%P;buf=buf*tmp%P;}}}if(op){int invn=power(n,P-2);for(int i=0;i<n;i++)f[i]=f[i]*invn%P;}return; } void mul(poly &a,poly &b){ll n=1;while(n<=a.n+b.n)n<<=1;for(ll i=0;i<n;i++)r[i]=(r[i>>1]>>1)^((i&1)?(n>>1):0);NTT(a.a,0,n);NTT(b.a,0,n);for(ll i=0;i<n;i++)a.a[i]=a.a[i]*b.a[i]%P;NTT(a.a,1,n);return; } int main() {scanf("%lld",&n);scanf("%s",s);ll l=strlen(s);scanf("%lld",&t);for(ll i=0;i<l;i++)k=(k*10+s[i]-'0')%P;inv[1]=1;for(ll i=2;i<=n;i++)inv[i]=(P-(P/i)*inv[P%i]%P)%P;for(ll i=0;i<n;i++)scanf("%lld",&F.a[i]);G.a[0]=1;for(ll i=1;i<=n;i++){if(!t)G.a[i]=G.a[i-1]*(i+k-1)%P*inv[i]%P;else{if(i>k)break;G.a[i]=(-1)*G.a[i-1]*(k-i+1)%P*inv[i]%P;G.a[i]=(G.a[i]+P)%P;}}G.n=F.n=n;mul(G,F);for(ll i=0;i<n;i++)printf("%lld ",G.a[i]);return 0; }

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的P5488-差分与前缀和【NTT,生成函数】的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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