正題

題目鏈接:https://www.luogu.com.cn/problem/P3172

---

題目大意

求有多少個長度為$N$的值域在$[L,R]$這個區間的序列滿足它們的$gcd$恰好是$K$。

---

解題思路

$dp$容斥思想

我們先讓$L=?\frac{L+K?1}{K}?,R=?\frac{R}{K}?$，這樣就變成了讓$gcd$是$1$。

然后設$f_i$表示$gcd$恰好是$i$時的方案。開始時，若對于一個$i$有$x$個數在$[L,R]$的區間內，那么$f_i=x^n?x$表示這個區間的公約數包含$x$且不完全相同時的方案數，那么我們讓所有的$f_i$減去$f_{k?i}(k?i\le R?L)$的最終值即可。

注意當$L=1$時需要特判，因為可以全是$1$。

杜教篩+莫比烏斯反演思想

這里只是提及一下，我也沒寫
定義$f(x)$表示$gcd$為$x$時的方案數，$ct(l,r,k)$表示$[l,r]$區間$k$的倍數的個數
那么$$F(x)=\sum _{x|d}f(d)=ct(L,R,x{)}^n$$
$$f(k)=\sum _{k|d}F(\frac{d}{k})\mu (d)=\sum _{i=1}^{?\frac{R}{k}?}F(ik)\mu (i)$$
展開$ct$
$$?f(k)=\sum _{i=1}^{?\frac{R}{k}?}(?\frac{R}{ik}???\frac{L?1}{ik}?)\mu (i)$$

然后整除分塊前面那一部分，后面那一部分杜教篩處理即可。

---

$code$

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #define ll long long using namespace std; const ll P=1e9+7; ll n,k,w,h,f[110000]; ll power(ll x,ll b){ll ans=1;while(b){if(b&1)ans=ans*x%P;x=x*x%P;b>>=1;}return ans; } int main() {scanf("%lld%lld%lld%lld",&n,&k,&w,&h);w=(w+k-1)/k;h=h/k;if(h<w)return printf("0")&0;for(ll i=1;i<=h-w;i++){ll x=h/i-(w+i-1)/i+1;if(x<=0)continue;f[i]=(power(x,n)-x+P)%P;}for(ll i=h-w;i>=1;i--)for(ll j=2*i;j<=h-w;j+=i)f[i]=(f[i]-f[j]+P)%P;if(w==1)f[1]=(f[1]+1)%P;printf("%lld\n",f[1]);return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的P3172-[CQOI2015]选数【dp,容斥】的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。