正題

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題目大意

$n$個點的一棵樹，從$x$跳到$y$（要求$y$在$x$的子樹中）會產生$A_x?B_y$的代價，求每個節點出發跳到某個葉節點的最小代價。

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解題思路

考慮$dp$的話，那么有$f_x=f_y+A_x?B_y$，這個式子可以考慮斜率優化，若$y_1$比$y_2$優，那么有$$\frac{f_{y_1}?f_{y_2}}{B_{y_1}?B_{y_2}}\ge A_x$$
也就是我們對于每個節點要維護一個子樹里所有點構成的一個下凸殼。

考慮樹上啟發式合并$+CDQ$，我們要求一個序列使得被貢獻的點排在貢獻點的后面。維護一個序列，每次我們保留重子樹的序列，然后再加入其它輕子樹的序列，當到一個節點的頭頂上是一條輕邊時我們就對這個序列跑一次$CDQ$來維護凸殼，然后清空序列。需要注意的是對于二次掃描輕子樹的節點需要標記不能在$CDQ$分治中被修改答案。

時間復雜度$O(n{\log }^{2}n)$

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$code$

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<stack> #define ll long long using namespace std; const ll N=1e5+10; struct node{ll to,next; }e[N*2]; ll n,tot,ls[N],a[N],b[N],f[N],siz[N],son[N]; ll cnt,q[N],p[N],v[N],st[N],rfn[N]; void addl(ll x,ll y){e[++tot].to=y;e[tot].next=ls[x];ls[x]=tot;return; } void dfs(ll x,ll fa){siz[x]=1;for(ll i=ls[x];i;i=e[i].next){ll y=e[i].to;if(y==fa)continue;dfs(y,x);siz[x]+=siz[y];if(siz[y]>siz[son[x]])son[x]=y;}return; } bool cmp(ll x,ll y) {return a[x]<a[y];} bool cMp(ll x,ll y) {return (b[x]==b[y])?(f[x]<f[y]):(b[x]<b[y]);} double slope(ll x,ll y) {return (double)(f[x]-f[y])/(b[x]-b[y]);} void cdq(ll l,ll r){if(l==r)return;ll mid=(l+r)>>1,cnt1=l-1,cnt2=mid;for(ll i=l;i<=r;i++)if(rfn[p[i]]<=mid)q[++cnt1]=p[i];else q[++cnt2]=p[i];for(ll i=l;i<=r;i++)p[i]=q[i];cdq(l,mid);ll tot=0;for(ll i=l;i<=mid;i++){if(b[p[i]]==b[p[i-1]]&&i!=l)continue;while(tot>1&&slope(st[tot-1],st[tot])>slope(st[tot-1],p[i]))tot--;st[++tot]=p[i];}for(ll i=mid+1;i<=r;i++){if(v[p[i]])continue;while(tot>1&&slope(st[tot-1],st[tot])>-a[p[i]])tot--;ll x=p[i],y=st[tot];f[x]=min(f[x],f[y]+a[x]*b[y]);}cdq(mid+1,r);sort(p+l,p+1+r,cMp);return; } void calc(ll x,ll fa){p[++cnt]=x;rfn[x]=cnt;v[x]=1;for(ll i=ls[x];i;i=e[i].next){ll y=e[i].to;if(y==fa)continue;calc(y,x);} } void solve(ll x,ll fa,ll top){for(ll i=ls[x];i;i=e[i].next){ll y=e[i].to;if(y==fa||y==son[x])continue;solve(y,x,y);}if(son[x])solve(son[x],x,top);else f[x]=0;for(ll i=ls[x];i;i=e[i].next){ll y=e[i].to;if(y==fa||y==son[x])continue;calc(y,x);}p[++cnt]=x;rfn[x]=cnt;v[x]=(!son[x]);if(x==top){sort(p+1,p+1+cnt,cmp);cdq(1,cnt);cnt=0;}return; } int main() {scanf("%lld",&n);for(ll i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&a[i]);for(ll i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&b[i]);for(ll i=1;i<n;i++){ll x,y;scanf("%lld%lld",&x,&y);addl(x,y);addl(y,x);}memset(f,0x3f,sizeof(f));dfs(1,1);solve(1,1,1);for(ll i=1;i<=n;i++)printf("%lld\n",f[i]);return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的CF932F-Escape Through Leaf【树上启发式合并,CDQ分治,斜率优化dp】的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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