正題

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題目大意

求解$$x^2=N(modP)$$

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解題思路

若$a$在模$p$意義下可以開根那么$a$就是$p$的二次剩余，定義
$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{a}{p}\right)=?\begin{array}{c}1(a是p的二次剩余)\\ ?1(a是p的二次非剩余)\\ 0(p|a)\end{array}$$

那么如果$gcd(a,p)=1$就有$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{a}{p}\right)=a^{\frac{p?1}{2}}$。

如果我們求$x^2=N(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$那么我們考慮先求一個$(a^2?N{)}^{\frac{p?1}{2}}=?1$，然后定義$\omega =\sqrt{a^2?N}$，那么就有定理$x=(a+\omega {)}^{\frac{p+1}{2}}$，這里我們找$a$的時候只要隨機就好了，因為$p$的二次有$\frac{p+1}{2}$個，期望很快就能找到一個合法的$a$。

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$code$

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #define ll long long using namespace std; ll T,n,p,k,w; struct complex{complex(ll xx=0,ll yy=0){x=xx;y=yy;}ll x,y; }; complex operator+(complex &a,complex &b) {return complex((a.x+b.x)%p,(a.y+b.y)%p);} complex operator-(complex &a,complex &b) {return complex((a.x-b.x+p)%p,(a.y-b.y+p)%p);} complex operator*(complex &a,complex &b) {return complex((a.x*b.x%p+a.y*b.y%p*w%p+p)%p,(a.x*b.y+a.y*b.x)%p);} complex poweri(complex x,ll b){complex ans=complex(1,0);while(b){if(b&1)ans=ans*x;x=x*x;b>>=1; }return ans; } ll power(ll x,ll b){ll ans=1;while(b){if(b&1)ans=ans*x%p;x=x*x%p;b>>=1;}return ans; } bool check(ll a) {return power(((a*a%p-n)%p+p)%p,k)==(p-1);} int main() {srand(31958);scanf("%lld",&T);while(T--){scanf("%lld%lld",&n,&p);if(!n){printf("0\n");continue;}if(p==2){printf("%lld\n",n);continue;}k=(p-1)>>1;if(power(n,k)==p-1){printf("Hola!\n");continue;}ll a=rand()%p;while(!check(a))a=rand()%p;w=((a*a%p-n)%p+p)%p;ll x1=poweri(complex(a,1),(p+1)/2).x;ll x2=p-x1;if(x1>x2)swap(x1,x2);if(x1!=x2)printf("%lld %lld\n",x1,x2);else printf("%lld\n",x1);} }

總結

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