正題

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題目大意

$n$個(gè)物品分成$k$個(gè)組，每個(gè)物品權(quán)值為$w_i$。一個(gè)子集$S$的權(quán)值為$|S|{\sum }_{x\in S}{w}_x$。

求所有劃分方法的權(quán)值和。

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解題思路

考慮對(duì)于每個(gè)數(shù)$w_i$的貢獻(xiàn)，可以看為同一集合內(nèi)每一個(gè)數(shù)都對(duì)其進(jìn)行過(guò)貢獻(xiàn)。$w_i$對(duì)自身的貢獻(xiàn)為$\left\{\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right\}$（也就是每一種劃分方案都是）。對(duì)于$j=i$的貢獻(xiàn)，我們將$w_i$和$w_j$綁定在一個(gè)組中，方案數(shù)就是$\left\{\begin{array}{c}n?1\\ k\end{array}\right\}$。也就是對(duì)于每一個(gè)會(huì)被計(jì)算$\left\{\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right\}+(n?1)\left\{\begin{array}{c}n?1\\ k\end{array}\right\}$

考慮用斯特林?jǐn)?shù)的通項(xiàng)計(jì)算（先是通項(xiàng)的推導(dǎo)）。
定義$f(x)=x^n,g(x)=\left\{\begin{array}{c}n\\ x\end{array}\right\}x!$
那么有$$f(x)=x^n=\sum _{k=0}^x\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{k}\right)\left\{\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right\}k!=\sum _{k=0}^x\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{k}\right)g(k)$$
根據(jù)二項(xiàng)式反演有$$g(k)=\sum _{i=1}^k(?1{)}^{k?i}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})f(i)$$
也就是$$\left\{\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right\}k!=\sum _{i=1}^k(?1{)}^{k?i}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})i^k$$
化簡(jiǎn)得$$\left\{\begin{array}{c}n\\ m\end{array}\right\}=\frac{1}{m!}\sum _{k=0}^m(?1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k})(m?k{)}^n$$

然后計(jì)算即可。

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$code$

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #define ll long long using namespace std; const ll XJQ=1e9+7,N=2e5+10; ll n,m,ans,inv[N],fac[N]; ll power(ll x,ll b){ll ans=1;while(b){if(b&1)ans=ans*x%XJQ;x=x*x%XJQ;b>>=1;}return ans; } void init(){fac[0]=inv[0]=1;for(ll i=1;i<=m;i++){inv[i]=inv[i-1]*power(i,XJQ-2)%XJQ;fac[i]=fac[i-1]*i%XJQ;} } ll C(ll n,ll m) {return fac[n]*inv[n-m]%XJQ*inv[m]%XJQ;} ll S(ll n,ll m){ll ans=0,z=-1;for(ll i=0;i<=m;i++)z*=-1,(ans+=z*C(m,i)*power(m-i,n)%XJQ)%=XJQ;ans=ans*inv[m]%XJQ;return (ans+XJQ)%XJQ; } int main() {scanf("%lld%lld",&n,&m);init();ll k1=S(n,m),k2=S(n-1,m)*(n-1)%XJQ;for(ll i=1;i<=n;i++){ll x;scanf("%lld",&x);(ans+=x*(k1+k2)%XJQ)%=XJQ;}printf("%lld",ans); }

總結(jié)

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