正題

題目鏈接:https://www.luogu.com.cn/problem/P3723

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題目大意

兩個長度為$n$的序列$x$和$y$，可以旋轉序列$x$之后讓一個序列的所有數加上一個非負整數$c$。

要求最小化$$\sum _{i=1}^n(x_i?y_i{)}^2$$

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解題思路

其實就是要求最小化$$\sum _{i=1}^n(x_i+c?y_i{)}^2$$
$$?\sum _{i=1}^n{x}_i^2+\sum _{i=1}^n{y}_i^2+2n{c}^2+2?(\sum _{i=1}^n{x}_i?\sum _{j=1}^n{y}_i)+2?\sum _{i=1}{x}_i{y}_i$$

式子由很多個分開的段組成，其中對于$2n{c}^2+2?({\sum }_{i=1}^n{x}_i?{\sum }_{j=1}^n{y}_i)$我們可以枚舉$c$來求最小值，然后考慮最小化$2?{\sum }_{i=1}^n{x}_i{y}_i$

對于式子${\sum }_{i=1}^n{x}_i{y}_i$把$x_i$翻轉之后就成了${\sum }_{i=1}^n{x}_{n?i+1}{y}_i$，是一個卷積的形式，我們再把翻轉后的$x$復制一份放在后面，然后跑多項式乘法就可以發現對于乘法后的多項式$f_{n+i}$這個位置就是將序列$x$翻轉$i$次之后的答案。

時間復雜度$O(n\log n)$

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$code$

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<complex> #include<cmath> #define ll long long using namespace std; typedef complex<double> comp; const double Pi=acos(-1.0); const ll N=4e5+10; ll n,m,r[N],g[N],answer,ans,suma,sumb; comp a[N],b[N]; void fft(comp *f,ll op){for(ll i=0;i<n;i++)if(i<r[i])swap(f[i],f[r[i]]);for(ll p=2;p<=n;p<<=1){ll len=p>>1;comp tmp(cos(Pi/len),sin(Pi/len)*op);for(ll k=0;k<n;k+=p){comp buf(1,0);for(ll i=k;i<k+len;i++){comp tt=buf*f[i+len];f[i+len]=f[i]-tt;f[i]=f[i]+tt;buf=buf*tmp;}} }if(op==-1)for(ll i=0;i<n;i++)g[i]=(ll)(f[i].real()/n+0.5);return; } void Mul(){ll m;for(m=3*n,n=1;n<=m;n<<=1);for(ll i=0;i<n;i++)r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)?(n>>1):0);fft(a,1);fft(b,1);for(ll i=0;i<n;i++)a[i]=a[i]*b[i];fft(a,-1);return; } int main() {scanf("%lld%lld",&n,&m);ll k=n;for(ll i=1;i<=n;i++){scanf("%lf",&a[i]);ans+=a[i].real()*a[i].real();suma+=a[i].real();}for(ll i=1;i<=n;i++){scanf("%lf",&b[i]);ans+=b[i].real()*b[i].real();sumb+=b[i].real();}for(ll i=1;i<=n/2;i++)swap(a[i],a[n-i+1]);for(ll i=1;i<=n;i++)a[i+n]=a[i];Mul();answer=1e18;for(ll i=k+1;i<=2*k;i++)for(ll j=-m;j<=m;j++)answer=min(answer,ans+k*j*j+2ll*j*(suma-sumb)-2ll*g[i]);printf("%lld",answer); }

總結

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