正題

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題目大意

給出$n,m$，求$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m[gcd(i,j)\in p]$$

定義$p$是質數(shù)集

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解題思路

首先考慮定義$$f(x)=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m[gcd(i,j)==x]$$
然后有$F(x)={\sum }_{d|x}f(x)=?\frac{n}{x}??\frac{m}{x}?$
根據(jù)莫比烏斯反演就有$$f(d)=\sum _{i|d}\mu (\frac{i}{d})F(d)$$即$$f(d)=\sum _{i|d}\mu (\frac{i}{d})?\frac{n}{x}??\frac{m}{x}?$$枚舉質數(shù)$p$
然后有$$ans=\sum _p^n\sum _{d=1}^n\mu (d)?\frac{n}{pd}??\frac{m}{pd}?$$
$$?ans=\sum _i^n?\frac{n}{i}??\frac{m}{i}?\sum _{d|i}\mu (\frac{i}{d})$$

預處理${\sum }_{d|i}\mu (\frac{i}{d})$的前綴和即可。

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$code$

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; const int N=1e7+10; int T,n,m,cnt; int pri[N],mu[N],g[N]; long long ans; bool vis[N]; void prime(){mu[1]=1;for(int i=2;i<N;i++){if(!vis[i])mu[i]=-1,pri[++cnt]=i;for(int j=1;j<=cnt&&pri[j]*i<N;j++){vis[i*pri[j]]=1;if(i%pri[j]==0)break;mu[i*pri[j]]=-mu[i];}}for(int j=1;j<=cnt;j++)for(int i=1;pri[j]*i<N;i++)g[i*pri[j]]+=mu[i];for(int i=1;i<N;i++)g[i]+=g[i-1];return; } int main() {prime();scanf("%d",&T);while(T--){scanf("%d%d",&n,&m);if(n>m)swap(n,m);ans=0;for(int l=1,r;l<=n;l=r+1){r=min(n/(n/l),m/(m/l));ans+=1ll*(n/l)*(m/l)*(g[r]-g[l-1]);}printf("%lld\n",ans);} }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的P2257-YY的GCD【莫比乌斯反演】的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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