正題

題目鏈接:
https://www.luogu.com.cn/problem/AT4352
https://atcoder.jp/contests/arc101/tasks/arc101_c

---

題目大意

$n$個點之間兩兩配對，要求配對點之間的路徑覆蓋整棵樹，求方案數

---

解題思路

考慮容斥，我們欽定有$l$條邊沒有路徑覆蓋，就有$dp$狀態$f_{i,j,l}$表示$i$的子樹中，目前該子樹的聯通塊大小為$j$，已經切斷了$l$條邊，我們發現該狀態已經是$O(n^3)$的，顯然無法通過。

考慮優化，每個$dp$狀態的容斥系數是$(?1{)}^l$，所以我們可以不用記錄$l$這一維度，之間用狀態表示乘上了容斥系數的值。

那么我們就有$dp$方程，定義$calc(x)$表示$x$個點兩兩匹配的值
$$(?1)?f_{x,i}?f_{y,j}?calc(j)\to f_{x,i}$$
$$f_{x,i}?f_{y,j}\to f_{x,i+j}$$
該方程的復雜度就是每個子樹的乘積，可以理解為每個點堆之間進行一次貢獻，時間復雜度$O(n^2)$

$calc(x)={\prod }_{i=1}^{x?1}[i\&1==1]i$

---

$code$

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #define ll long long using namespace std; const ll N=5100,XJQ=1e9+7; struct node{ll to,next; }a[N*2]; ll n,tot,ls[N],siz[N],f[N][N],ans,g[N],fac[N]; void addl(ll x,ll y){a[++tot].to=y;a[tot].next=ls[x];ls[x]=tot; } void dp(ll x,ll fa){siz[x]=f[x][1]=1;for(ll i=ls[x];i;i=a[i].next){ll y=a[i].to;if(y==fa)continue;dp(y,x);for(ll i=1;i<=siz[x];i++)g[i]=f[x][i],f[x][i]=0;for(ll j=1;j<=siz[x];j++){for(ll k=1;k<=siz[y];k++){(f[x][j+k]+=f[y][k]*g[j]%XJQ)%=XJQ;if((k&1)==0)(f[x][j]+=XJQ-f[y][k]*g[j]%XJQ*fac[k-1]%XJQ)%=XJQ;}}siz[x]+=siz[y];}return; } int main() {scanf("%lld",&n);for(ll i=1;i<n;i++){ll x,y;scanf("%lld%lld",&x,&y);addl(x,y);addl(y,x);}fac[0]=fac[1]=1;for(ll i=2;i<=n;i++)fac[i]=fac[i-2]*i%XJQ;dp(1,1);for(ll i=2;i<=n;i++)ans=(ans+f[1][i]*fac[i-1]%XJQ)%XJQ;printf("%lld",ans); }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的AT4352-[ARC101C] Ribbons on Tree【dp,容斥】的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。