正題

題目鏈接:http://www.51nod.com/Challenge/Problem.html#problemId=1597

---

題目大意

$n$種物品，第$i$個大小為$i$且有$i$個。

求恰好填滿大小為$n$的背包的方案數(shù)

---

解題思路

我們可以將背包分為兩份，對于大小小于等于$\sqrt{n}$的物品，這樣的物品數(shù)量不超過$n\sqrt{n}$個，所以我們可以用多重背包來做，這里要優(yōu)化，我們將$f_{i,j}$中根據(jù)$j\%i$的不同來進行分組，這樣只有組內可以相互轉移且是在一個區(qū)間內轉移，可以$O(n\sqrt{n})$的計算出答案，然后反向枚舉壓縮掉$i$這一維就有方程（u枚舉余數(shù)
$$f_{u+p?i}=\sum _{p?i\le k\le p?1}{f}_{u+k?i}$$

然后對于大于$\sqrt{n}$的物品，我們可以將其視為有無限個物品，所以我們可以將問題變?yōu)榍髮⒁粋€數(shù)字分解成若干個可以相同但是要大于$\sqrt{n}$的數(shù)字的和的方案數(shù)。

考慮一個集合，每次可以加入一個數(shù)字（物品）$\sqrt{n}+1$或者全體數(shù)字都$+1$（物品都變大一個）。

然后設$g_{i,j}$表示目前集合內數(shù)字和（選擇的物品和）為$i$，然后集合內數(shù)字（物品）個數(shù)為$j$，就有方程$$g_{i,j}=g_{i?\sqrt{n}?1,j}+g_{i,j?1}$$

然后轉移即可

---

$code$

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<cmath> using namespace std; const int N=1e5+10,XJQ=23333333; int n,T,f[N],g[2][N],s[N],ans; int main() {scanf("%d",&n);T=sqrt(n)+1;f[0]=1;for(int i=1;i<T;i++){for(int u=0;u<i;u++){int sum=0,t=(n-u)/i;for(int p=t;p>max(t-i,-1);p--)(sum+=f[u+i*p])%=XJQ; for(int p=t;p>=0;p--){if(p-i>=0)sum=(sum+f[u+i*(p-i)])%XJQ;sum=(sum-f[u+i*p]+XJQ)%XJQ;f[u+p*i]=(f[u+p*i]+sum)%XJQ;}}}g[0][0]=s[0]=1;for(int i=1;i<T;i++){memset(g[i&1],0,sizeof(g[i&1]));for(int j=T;j<=n;j++)g[i&1][j]=(g[~i&1][j-T]+g[i&1][j-i])%XJQ,(s[j]+=g[i&1][j])%=XJQ;}for(int i=0;i<=n;i++)(ans+=1ll*f[i]*s[n-i]%XJQ)%=XJQ;printf("%d",ans); }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的51nod-有限背包计数问题【dp】的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網(wǎng)站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。