正題

題目鏈接:https://www.luogu.com.cn/problem/P3648

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題目大意

$n$個數字的序列，分割$k$次，每次的權值是左右兩塊數字的乘積。求最大權值和分割方案。

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解題思路

顯然分割順序不會影響結果，一個分割方式的答案是每一塊與其他塊的乘積之和。

考慮$dp$，$f_{i,j}$表示第$i$次分割，到第$j$個時的方案數，有轉移
$$f_{i,j}=max\{f_{i?1,k}+(s_j?s_k)?s_k\}$$
考慮兩個方案$k^{\prime }<k$的優劣性
$$f_{i?1,k}+s_j?s_k?s_k^2>f_{i?1,k^{\prime }}+s_j?s_{k^{\prime }}?s_{k^{\prime }}^2$$
$$f_{i?1,k}+s_j?s_k?f_{i?1,k^{\prime }}+s_{k^{\prime }}^2>s_j?(s_{k^{\prime }}?s_k)$$
$$\frac{f_{i?1,k}+s_j?s_k?f_{i?1,k^{\prime }}+s_{k^{\prime }}^2}{s_{k^{\prime }}?s_k}<s_j$$
因為$s_j$遞增，所以單調隊列維護一個上突殼即可

然后記錄一下前驅輸出方案
時間復雜度$O(nk)$

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$code$

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #define ll long long using namespace std; const ll N=110000; ll n,k,q[N],fa[210][N],s[N],f[2][N]; double slope(ll z,ll x,ll y){if(s[y]==s[x])return -1e18;return (f[z][x]-f[z][y]-s[x]*s[x]+s[y]*s[y])/(double)(s[y]-s[x]); } int main() {scanf("%lld%lld",&n,&k);for(ll i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&s[i]),s[i]+=s[i-1];memset(f,0,sizeof(f));for(ll i=1;i<=k;i++){ll head=1,tail=0;memset(f[i&1],0,sizeof(f[i&1]));for(ll j=1;j<=n;j++){while(head<tail&&slope(~i&1,q[head],q[head+1])<=s[j])head++;f[i&1][j]=0;if(head<=tail){ll x=q[head];fa[i][j]=x;f[i&1][j]=f[~i&1][x]+(s[j]-s[x])*s[x];}while(head<tail&&slope(~i&1,q[tail],q[tail-1])>=slope(~i&1,j,q[tail]))tail--;q[++tail]=j;}}printf("%lld\n",f[k&1][n]);for(ll i=k,w=fa[k][n];i;w=fa[--i][w])printf("%lld ",w); }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的P3648-[APIO2014]序列分割【斜率优化】的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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