正題

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題目大意

求有多少個長度為$n$的序列使得

都是在集合$S$中的數

這些數的乘積$\%m=x$

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解題思路

設$f_{i,j}$表示長度為$i$的序列，乘積為$j$的有多少個，顯然有
$$f_{i,j?w\%m}=f_{i?1,j}(w\in S)$$
然后有
$$f_{2?i,j}=\sum _{a?b\%m=j}{f}_{i,a}?f_{i,b}$$

此時我們可以用矩陣乘法做到$O(m^3\log n)$

但是此復雜度顯然無法勝任本題

因為$m$是質數，所以對于$1～m?1$都可以用一個$g^i\%m$表示出來，我們枚舉找出一個$g$后，就有
$f_{i,j}$表示長度為$i$的序列，乘積為$g_j\%m$的有多少個
那么就有$$f_{2?i,j}=\sum _{(a+b)\%m=j}{f}_{i,a}?f_{i,b}$$

這很顯然是一個卷積的形式，所以我們表示出一個多項式后用$NTT$做快速冪即可。

時間復雜度$:O(m\log m\log n)$

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$code$

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #define ll long long using namespace std; const ll N=5e4+10,XJQ=1004535809; ll n,m,z,s,d[N],cnt,len,invn; ll f[N],ans[N],tmp1[N],tmp2[N],r[N]; bool v[N]; ll power(ll x,ll b,ll p){ll ans=1;while(b){if(b&1)ans=ans*x%p;x=x*x%p;b>>=1;}return ans; } ll FindRoot(){ll l=m-1;for(ll i=2;i*i<=l;i++){if(l%i==0){d[++cnt]=i;while(l%i==0)l/=i;}}if(l!=1) d[++cnt]=l;l=m-1;for(ll i=2;i<=l;i++){bool flag=1;for(ll j=1;j<=cnt;j++)if(power(i,l/d[j],m)==1){flag=0;break;}if(flag) return i;}return 0; } void NTT(ll *x,ll op){for(ll i=0;i<len;i++)if(i<r[i])swap(x[i],x[r[i]]);for(ll p=2;p<=len;p<<=1){ll l=p>>1,tmp=power(3,(XJQ-1)/p,XJQ);if(op==-1)tmp=power(tmp,XJQ-2,XJQ);for(ll k=0;k<len;k+=p){ll buf=1;for(ll i=k;i<k+l;i++){ll tt=buf*x[l+i]%XJQ;x[l+i]=(x[i]-tt+XJQ)%XJQ;x[i]=(x[i]+tt)%XJQ;buf=buf*tmp%XJQ;}}}if(op==-1)for(int i=0;i<len;i++)x[i]=x[i]*invn%XJQ; } void mul(ll *a,ll *b){for(ll i=0;i<len;i++)tmp1[i]=a[i],tmp2[i]=b[i];NTT(tmp1,1);NTT(tmp2,1);for(ll i=0;i<len;i++)tmp1[i]=tmp1[i]*tmp2[i]%XJQ;NTT(tmp1,-1);for(ll i=0;i<m-1;i++)a[i]=(tmp1[i]+tmp1[i+m-1])%XJQ; } int main() {ll z0;scanf("%lld%lld%lld%lld",&n,&m,&z0,&s);ll root=FindRoot();for(ll i=1;i<=s;i++){ll x;scanf("%lld",&x);v[x]=1;}for(ll i=0,x=1;i<m-1;i++,x=x*root%m){if(v[x])f[i]=1;if(x==z0)z=i;}for(len=1;len<=(m-1)<<1;len<<=1);for(ll i=0;i<len;i++)r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)?len>>1:0);ans[0]=1;invn=power(len,XJQ-2,XJQ);while(n){if(n&1)mul(ans,f);mul(f,f);n>>=1;}printf("%lld",ans[z]); }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的jzoj4051-序列统计【NTT】的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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