正題

題目鏈接:
https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2111
https://www.luogu.org/problem/P2606

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題目大意

長為$n$的序列$P$，然后要求$P_i>P_{?\frac{i}{2}?}$。求排列個數。

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解題思路

若用$i$連向$?\frac{i}{2}?$，那么這是一棵以$1$為根的數，然后考慮樹形$dp$。

我們發現每棵子樹滿足子節點小于父節點的性質且兩棵不包含的子樹互不關聯，所以我們只需要分配編號即可

也就是$$f_i=f_{2?i}?f_{2?i+1}?C_{siz{e}_i?1}^{siz{e}_{2?i}}$$

然后答案就是$f_1$。因為在其中$f_i$可能會大于$p$，所以我們用$Lucas$定理

時間復雜度$O(n\log n+min\{n,p\})$

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$code$

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #define ll long long using namespace std; const ll N=1e6+10; ll T,n,p,a[N],f[2*N],s[2*N]; ll power(ll x,ll b,ll p) {ll ans=1;while(b){if(b&1) ans=ans*x%p;x=x*x%p;b>>=1;}return ans; } ll C(ll n,ll m,ll p) {if(m>n) return 0ll;return a[n]*power(a[m],p-2,p)%p*power(a[n-m],p-2,p)%p; } ll lucas(ll n,ll m,ll p) {if(!m) return 1ll;return lucas(n/p,m/p,p)*C(n%p,m%p,p)%p; } int main() {scanf("%lld%lld",&n,&p);a[0]=1;for(ll i=1;i<=min(n,p);i++)a[i]=a[i-1]*i%p;for(ll i=n;i>=1;i--){s[i]=1+s[i*2]+s[i*2+1];if(i*2+1<=n)f[i]=f[i*2]*f[i*2+1]%p*lucas(s[i]-1,s[i*2],p)%p;else if(i*2<=n) f[i]=f[i*2];else f[i]=1; }printf("%lld",f[1]);return 0; }

總結

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