前題

$ZYCdalao$讓我推這題，然后我只推出了$f$的推導(dǎo)，我還是太菜了$QVQ$

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正題

題目鏈接:https://www.luogu.org/problemnew/show/P4550

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題目大意

$n$種，每次隨機(jī)買一個(gè)郵票(每種的概率均等)，然后第$k$種要$k$元，求收集完所有郵票需要的期望錢數(shù)。

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解題思路

首先設(shè)$g_i$表示購買$i$個(gè)郵票，買完剩下的郵票需要的期望錢數(shù)，我們發(fā)現(xiàn)因?yàn)橛?span id="ozvdkddzhkzd" class="katex--inline">$k$，我們很難計(jì)算答案，但我們可以將費(fèi)用推后計(jì)算。先設(shè)$f_i$表示拿到了$i$個(gè)，要取完剩下的郵票需要購買的期望次數(shù)(倒推)，那么有$\frac{n?i}{n}$的概率買到正確的郵票，有$\frac{i}{n}$的概率買到之前買過的郵票
$$f_i=\frac{n?i}{n}?f_{i+1}+\frac{i}{n}?f_i+1$$
$$f_i=\frac{n?i}{n}?f_{i+1}+\frac{i}{n}?f_i+1$$
$$\frac{n?i}{n}?f_i=\frac{n?i}{n}?f_i+1$$
$$f_i=f_{i+1}+\frac{n}{n?i}$$

然后我們考慮如何推導(dǎo)$g_i$，我們每次有$\frac{i}{n}$的概率買到已經(jīng)有了的，有$\frac{n?i}{n}$的概率買到?jīng)]有的，因?yàn)橘M(fèi)用推后計(jì)算，所以每次后面取到的費(fèi)用都會(huì)$+1$，所以現(xiàn)在的費(fèi)用就是之前的購買次數(shù)加上原來的費(fèi)用$f_i+1$，那么加上前面的購買費(fèi)用就是$g_i+f_i+1$

那么推導(dǎo)
$$g_i=\frac{i}{n}(g_i+f_i)+\frac{n?i}{n}(g_{i+1}+f_{i+1})+1$$
$$g_i=\frac{i}{n}?g_i+\frac{i}{n}?f_i+\frac{n?i}{n}(g_{i+1}+f_{i+1})+1$$
$$\frac{n?i}{n}{g}_i=\frac{i}{n}?f_i+\frac{n?i}{n}(g_{i+1}+f_{i+1})$$
$$g_i=\frac{i}{n?i}?f_i+g_{i+1}+f_{i+1}+1$$

$over$

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$code$

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; const int N=11000; double n; double f[N],g[N]; int main() {scanf("%lf",&n);for(int i=n-1;i>=0;i--){f[i]=f[i+1]+(double)n/(n-i);g[i]=(double)(f[i]+1)*i/(n-i)+g[i+1]+f[i+1]+1;}printf("%.2lf",g[0]); }

總結(jié)

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