正題

題目鏈接:https://www.luogu.org/problemnew/show/P2579

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題目大意

一張無向圖，一個起點一個終點。

有食人魚，在若干個點之間有周期的移動，周期為$2$或$3$或$4$個點為循環。

然后要求從起點到終點走$k$步且不碰到食人魚的方案數。

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解題思路

因為食人魚的周期為$2$或$3$或$4$，所以顯然所有食人魚的周期為$lcm(2,3,4)=12$一個循環。
然后$k$很大顯然矩陣乘法。

轉移矩陣$G(k)$中$[i,j]$表示在第$k$個時刻是否可以從$i$移動到$j$。需要考慮連邊和食人魚具體分析。

構建好轉移矩陣后$G(k)$我們開始轉移，我們發現如果不考慮快速冪轉移那么
$$Ans=G(1)?G(2)?G(3)...?G(12)?G(1)?G(2)...?G(k\%12)$$
中間有$?\frac{k}{12}?$個$G(1)?G(2)?G(3)?...G(12)$

那么我們讓$Gsum=G(1)?G(2)?G(3)...?G(12)$

然后十分顯然
$$Ans=Gsu{m}^{?\frac{k}{12}?}?\prod _{i=1}^{k\%12}G(i)$$
然后用$Ans$矩陣計算答案即可。

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$code$

#include<cstdio> #include<algorithm> #include<cstring> using namespace std; const int Size=60,T=12,XJQ=10000; struct matrix{int a[Size][Size]; }ans,f[T]; int n,m,s,e,k,Nfish; matrix operator *(matrix a,matrix b) {matrix c;memset(c.a,0,sizeof(c.a));for(int i=0;i<Size;i++)for(int j=0;j<Size;j++)for(int k=0;k<Size;k++)(c.a[i][j]+=a.a[i][k]*b.a[k][j]%XJQ)%=XJQ;return c; } void power(int b) {matrix F=f[0];for(int i=1;i<T;i++)F=F*f[i];while(b){if(b&1) ans=ans*F;F=F*F;b>>=1;} } int main() {scanf("%d%d%d%d%d",&n,&m,&s,&e,&k);for(int i=1;i<=m;i++){int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);for(int i=0;i<T;i++)f[i].a[x][y]=f[i].a[y][x]=1;}scanf("%d",&Nfish);for(int i=1;i<=Nfish;i++){int op,x,last;scanf("%d",&op);for(int j=0;j<op;j++){scanf("%d",&x);for(int k=j;k<T;k+=op){int now=k-1;if(now<0) now=T-1; for(int i=0;i<n;i++)f[now].a[i][x]=0;}}}ans.a[0][s]=1;power(k/T);for(int i=0;i<k%T;i++)ans=ans*f[i];printf("%d",ans.a[0][e]); }

總結

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