正題

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題目大意

開始的時候一個點，然后等概率隨機選一個葉子節點展開成兩個，求$n$個葉子節點的樹的葉子節點平均深度和最大深度期望。

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解題思路

平均深度很好求，因為每展開一個，葉子節點總深度就加上個2。

所以$$g_i=g_{i?1}+\frac{2}{i}$$

然后考慮如何求最大深度。

設$f_{i,j}$為$i$個節點深度$\ge j$，然后考慮一棵樹，我們枚舉一個子樹的大小$k$，那么另一個就是$i?k$，然后展開一個的話$f_{k,j?1}$或$f_{i?k,j?1}$。但是因為都大于$j$的情況重復了，所以要加上一個$f_{k,j?1}?f_{i?k,j?1}$
$$f_{i,j}=f_{k,j?1}+f_{i?k,j?1}?f_{k,j?1}?f_{i?k,j?1}$$

之后答案就是$$\sum _{i=1}^{n?1}{f}_i$$

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$code$

#include<cstdio> using namespace std; int q,n; double g[110],f[110][110],ans; int main() {scanf("%d%d",&q,&n);if(q==1){g[1]=0;for(int i=2;i<=n;i++)g[i]=g[i-1]+(double)2/i;printf("%lf",g[n]);}else{for(int i=1;i<=n;i++)f[i][0]=1;for(int i=2;i<=n;i++)for(int j=1;j<i;j++){for(int k=1;k<i;k++)f[i][j]+=f[k][j-1]+f[i-k][j-1]-f[k][j-1]*f[i-k][j-1];f[i][j]/=(double)i-1;}for(int i=1;i<n;i++)ans+=f[n][i];printf("%lf",ans);} }

總結

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