2021牛客暑期多校训练营5 D-Double Strings（dp+组合数）
D-Double Strings
fi,jf_{i,j}fi,j?表示a中前i個字符，b中前j個字符相同子序列的數量，容斥轉移
fi,j=fi?1,j+fi,j?1?fi?1,j?1+{(1+fi?1,j?1)[ai=aj]}f_{i,j}=f_{i-1,j}+f_{i,j-1}-f_{i-1,j-1}+\{(1+f_{i-1,j-1})[a_i=a_j]\}fi,j?=fi?1,j?+fi,j?1??fi?1,j?1?+{(1+fi?1,j?1?)[ai?=aj?]}
gi,jg_{i,j}gi,j?表示a中前i個字符，b中前j個字符滿足小于關系子序列的數量
類似相同子序列數量轉移即可。
gi,j=gi?1,j+gi,j?1?gi?1,j?1+(1+gi?1,j?1)+{(fi?1,j?1+1)[ai<aj]}g_{i,j}=g_{i-1,j}+g_{i,j-1}-g_{i-1,j-1}+(1+g_{i-1,j-1})+\{(f_{i-1,j-1}+1)[a_i<a_j]\}gi,j?=gi?1,j?+gi,j?1??gi?1,j?1?+(1+gi?1,j?1?)+{(fi?1,j?1?+1)[ai?<aj?]}
Code1
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; using ll=long long; template <class T=int> T rd() {T res=0;T fg=1;char ch=getchar();while(!isdigit(ch)) {if(ch=='-') fg=-1;ch=getchar();}while( isdigit(ch)) res=(res<<1)+(res<<3)+(ch^48),ch=getchar();return res*fg; } const int N=5010; const ll mod=1000000007; char a[N],b[N]; int f[N][N],g[N][N]; int n,m; int main() {scanf("%s%s",a+1,b+1);n=strlen(a+1);m=strlen(b+1);for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=m;j++){if(a[i]==b[j])f[i][j]=(1ll*f[i-1][j]+f[i][j-1]+1)%mod;elsef[i][j]=(1ll*mod+f[i-1][j]+f[i][j-1]-f[i-1][j-1])%mod;}for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=m;j++){if(a[i]<b[j]) g[i][j]=(1ll*g[i-1][j]+g[i][j-1]+1+f[i-1][j-1])%mod;elseg[i][j]=(1ll*g[i-1][j]+g[i][j-1])%mod;}printf("%lld\n",g[n][m]); }Code2
首先求出相同子序列，然后枚舉哪個位置不同，即第一個ai<aja_i<a_jai?<aj?，然后利用下面公式加快計算。
∑0≤i≤k(ni)(mk?i)=(n+mk)\sum_{0\leq i\leq k}\dbinom{n}{i}\dbinom{m}{k-i}=\dbinom{n+m}{k}0≤i≤k∑?(in?)(k?im?)=(kn+m?)
于是有
∑0≤i≤m(ni)(mi)∑0≤i≤m(ni)(mm?i)=(n+mm)\sum_{0\leq i\leq m}\dbinom{n}{i}\dbinom{m}{i}\sum_{0\leq i\leq m}\dbinom{n}{i}\dbinom{m}{m-i}=\dbinom{n+m}{m}0≤i≤m∑?(in?)(im?)0≤i≤m∑?(in?)(m?im?)=(mn+m?)
總結
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