E-Tree Xor

首先不考慮區(qū)間限制條件，我們給定其中一個點的權值后，那么其他點的權值也就確定。比如 ${\text{val}}_1=0$，即可通過變得限制求出其他點${\text{val}}_u$，而且不難發(fā)現(xiàn)如果${\text{val}}_1=0\oplus a$那么其余點的權值${\text{val}}_u=0\oplus a$

下面記${\text{val}}_u$為當${\text{val}}_1=0$時，u點的權值。

于是問題轉化為求出滿足下面區(qū)間限制$a$的個數(shù)。
$$\begin{gathered} {\text{L}}_1\le {\text{val}}_1\oplus a\le {\text{R}}_1 \\ {\text{L}}_2\le {\text{val}}_2\oplus a\le {\text{R}}_2 \\ \dots \\ {\text{L}}_n\le {\text{val}}_n\oplus a\le {\text{R}}_n \end{gathered}$$

考慮其中一種限制直觀的想法是$${\text{L}}_u\le {\text{val}}_u\oplus a\le {\text{R}}_u?{\text{L}}_1\oplus {\text{val}}_1\le a\le {\text{R}}_1\oplus {\text{val}}_1$$不難發(fā)現(xiàn)上面轉化是錯誤的，而且可以發(fā)現(xiàn)$a$的區(qū)間是不連續(xù)的！！！需要找出這些不連續(xù)的區(qū)間！

于是就很難處理，后面就是講題人的做法（真滴強）

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我們可以利用 $[0,2^{30}?1]$ 的線段樹, 把 $[L_i,R_i]$ 分成 $\log W$個連續(xù)的區(qū)間, 且每個區(qū)間的形式是 : $[???00\dots 00,???11\dots 11]$, 這樣的區(qū)間異或上 ${\text{val}}_i$ 后仍然還是一個區(qū)間

不妨設$???$的數(shù)量是k

不難發(fā)現(xiàn)區(qū)間$[???00\dots 00,???11\dots 11]$抑或上${\text{val}}_i$的區(qū)間是$[???00\dots 00,???,11\dots 11]$
其中$???$是$(???00\dots 00)\oplus {\text{val}}_i$的前$k$位的值
比如：$[10100000,10101111]$$\oplus 10011010?$ $[00110000,00111111]$

藍色部分異或$0011=1010\oplus 0011$原紅色部分不變，稍微思考一下就知道為什么了。

通過上面操作成功找出這些不連續(xù)的區(qū)間！！！

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然后就sort區(qū)間差分亂搞就行。時間復雜度2log，可以用線段樹維護所有不合法區(qū)間的并集，把不合法的區(qū)間標記為1，把時間復雜度降為1log

Code1

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; using ll=long long; template <class T=int> T rd() {T res=0;T fg=1;char ch=getchar();while(!isdigit(ch)) {if(ch=='-') fg=-1;ch=getchar();}while( isdigit(ch)) res=(res<<1)+(res<<3)+(ch^48),ch=getchar();return res*fg; } const int N=100010; int h[N],e[2*N],ne[2*N],w[2*N],idx; void add(int a,int b,int c){e[idx]=b,w[idx]=c,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;} int L[N],R[N]; int val[N]; struct node {int l,r; }tree[N*40]; int rt,cnt,n; vector<pair<int,int>> vec; void insert(int &u,int l,int r,int L,int R,int val) {if(!u) u=++cnt;if(L<=l&&r<=R){int ql=l^(val&(~(r-l)));//異或之后的區(qū)間[ql,qr]int qr=ql+r-l;vec.push_back({ql,1});vec.push_back({qr+1,-1});return;}int mid=l+r>>1;if(L<=mid) insert(tree[u].l,l,mid,L,R,val);if(R>mid)insert(tree[u].r,mid+1,r,L,R,val); }void dfs(int u,int fa) {insert(rt,0,(1<<30)-1,L[u],R[u],val[u]);for(int i=h[u];i!=-1;i=ne[i]){int v=e[i];if(v==fa) continue;val[v]=val[u]^w[i];dfs(v,u);} } int solve() {sort(vec.begin(),vec.end());vec.push_back({1<<30,0});int ans=0;int cur=0;for(int i=0;i<vec.size()-1;i++){cur+=vec[i].second;if(cur==n) ans+=vec[i+1].first-vec[i].first;}return ans; } int main() {n=rd();for(int i=1;i<=n;i++) L[i]=rd(),R[i]=rd();memset(h,-1,sizeof h);for(int i=1;i<n;i++){int u=rd(),v=rd(),w=rd();add(u,v,w),add(v,u,w);}dfs(1,0);printf("%d\n",solve()); }

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比較容易想到的做法就是我們需要求
$$\begin{gathered} {\text{L}}_1\le {\text{val}}_1\oplus a\le {\text{R}}_1 \\ {\text{L}}_2\le {\text{val}}_2\oplus a\le {\text{R}}_2 \\ \dots \\ {\text{L}}_n\le {\text{val}}_n\oplus a\le {\text{R}}_n \end{gathered}$$
轉化成
$$\begin{gathered} [{\text{val}}_1\oplus a\le {\text{R}}_1]?[{\text{val}}_1\oplus a<{\text{L}}_1] \\ [{\text{val}}_2\oplus a\le {\text{R}}_2]?[{\text{val}}_2\oplus a<{\text{L}}_2] \\ \dots \\ [{\text{val}}_n\oplus a\le {\text{R}}_n]?[{\text{val}}_n\oplus a<{\text{L}}_n] \end{gathered}$$
上面的?理解為兩個集合相減。

實際上我需要求的就是$\oplus a\le b$的區(qū)間，顯然字典樹可以做，相當于求$\oplus a\le b$的數(shù)有哪些，和第二次杭電I love counting求的步驟一樣，在Trie樹上討論一下就行。

Code2

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; using ll=long long; template <class T=int> T rd() {T res=0;T fg=1;char ch=getchar();while(!isdigit(ch)) {if(ch=='-') fg=-1;ch=getchar();}while( isdigit(ch)) res=(res<<1)+(res<<3)+(ch^48),ch=getchar();return res*fg; } const int N=100010; int h[N],e[2*N],ne[2*N],w[2*N],idx; void add(int a,int b,int c){e[idx]=b,w[idx]=c,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;} int L[N],R[N]; int val[N]; struct node {int l,r; }tree[N*40]; int rt,cnt,n; vector<pair<int,int>> seg[2]; void query(int k,int a,int b)// x^a<=b {int u=rt;int cur=0;for(int i=29;i>=0;i--)//30位{int ai=a>>i&1;int bi=b>>i&1;if(bi==1) //b=1{if(ai==0) {seg[k].push_back({cur,cur+(1<<i)-1});cur+=1<<i;if(!tree[u].r) tree[u].r=++cnt;u=tree[u].r;}else{seg[k].push_back({cur+(1<<i),cur+(1<<i)+(1<<i)-1});if(!tree[u].l) tree[u].l=++cnt;u=tree[u].l;}}else{if(ai==0){if(!tree[u].l) tree[u].l=++cnt;u=tree[u].l;}else {cur+=1<<i;if(!tree[u].r) tree[u].r=++cnt;u=tree[u].r;}}}seg[k].push_back({cur,cur}); } void dfs(int u,int fa) {for(int i=h[u];i!=-1;i=ne[i]){int v=e[i];if(v==fa) continue;val[v]=val[u]^w[i];dfs(v,u);} } int solve() {vector<pair<int,int>>vec;for(auto t:seg[0]) {vec.push_back({t.first,-1});vec.push_back({t.second+1,+1});}for(auto t:seg[1]) {vec.push_back({t.first,+1});vec.push_back({t.second+1,-1});}sort(vec.begin(),vec.end());vec.push_back({1<<30,0});int ans=0;int cur=0;for(int i=0;i<vec.size()-1;i++){cur+=vec[i].second;if(cur==n) ans+=vec[i+1].first-vec[i].first;}return ans; } int main() {n=rd();for(int i=1;i<=n;i++) L[i]=rd(),R[i]=rd();memset(h,-1,sizeof h);for(int i=1;i<n;i++){int u=rd(),v=rd(),w=rd();add(u,v,w),add(v,u,w);}dfs(1,0);for(int i=1;i<=n;i++) {if(L[i]>0) query(0,val[i],L[i]-1);query(1,val[i],R[i]);}printf("%d\n",solve()); }

其實仔細分析應該能寫出Trie樹的做法，不過當時沒有分析出來啊www

要加油哦~

總結

以上是生活随笔為你收集整理的2021牛客暑期多校训练营4 E-Tree Xor（异或+思维+区间交 or Trie树）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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