G-Game of Swapping Numbers

講題人做法

最優(yōu)解轉(zhuǎn)化：

考慮任意一個(gè)最優(yōu)解，我們把交換后的數(shù)字重新放回原來(lái)的位置，相當(dāng)于為每一個(gè)元素分配了它在答案中的符號(hào)。比如 A={0, 3}, B = {1, 2}，最優(yōu)解符號(hào)分配是 A={-0,+3}, B={-1,+2}。

考察符合要求的解符號(hào)分配規(guī)則，其實(shí)只要滿(mǎn)足 A, B 中正號(hào)總和和負(fù)號(hào)總和相等，而 A、B 各自的正負(fù)號(hào)可以不一樣。
注意：有可能出現(xiàn)正負(fù)號(hào)和實(shí)際絕對(duì)值相反的情況，這樣如果不交換答案會(huì)更劣，我們求最優(yōu)解不會(huì)影響。轉(zhuǎn)化后的問(wèn)題和原問(wèn)題不完全相同，但是最優(yōu)解相同！！！

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結(jié)論：n>2時(shí)，恰好 k 步與至多 k 步是等價(jià)的，當(dāng) n>2 時(shí)，A 中一定至少存在兩個(gè) + 號(hào)或兩個(gè) - 號(hào)，此時(shí)如果我們交換這兩個(gè)符號(hào)對(duì)應(yīng)的數(shù)，則并不會(huì)使得原問(wèn)題的解變得更劣。n=2 需要特殊判斷。

求最優(yōu)對(duì)換解：
考慮對(duì)于 $A_i$ 和$A_j$，如果需要答案變優(yōu)，則需要兩個(gè)區(qū)間沒(méi)有交（區(qū)間是$[\min (A_i,B_i),\max (A_i,B_i)]$畫(huà)畫(huà)圖即可看出），并且變優(yōu) $2\times [\min (A_i,B_i)?\max (A_j,B_j)]$。因此只需要將所有的 $2\times \min (A_i,B_i)$ 和 $2\times \max (A_i,B_i)$排序，依次取前 $k$ 大相減取和即可。

#include<bits/stdc++.h>using namespace std; using ll=long long;constexpr int N=200010; int n,K; int A[N],B[N]; int dmin[N],dmax[N]; int main() {ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(nullptr);cout.tie(nullptr);cin>>n>>K;for(int i=1;i<=n;i++) cin>>A[i];for(int i=1;i<=n;i++) cin>>B[i];ll ans=0;if(n==2&&(K&1)) swap(A[1],A[2]);for(int i=1;i<=n;i++) ans+=abs(A[i]-B[i]);if(n<=2) return cout<<ans<<'\n',0;for(int i=1;i<=n;i++){dmin[i]=2*min(A[i],B[i]);dmax[i]=2*max(A[i],B[i]);}sort(dmin+1,dmin+1+n,[&](int a,int b){return a>b;});//從大到小sort(dmax+1,dmax+1+n);// 從小到大ll cur=ans;for(int i=1;i<=n&&i<=K;i++) //前k大{cur+=dmin[i]-dmax[i];ans=max(ans,cur);}cout<<ans<<'\n';return 0; } 創(chuàng)作挑戰(zhàn)賽新人創(chuàng)作獎(jiǎng)勵(lì)來(lái)咯，堅(jiān)持創(chuàng)作打卡瓜分現(xiàn)金大獎(jiǎng)

總結(jié)

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