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编程问答

矩阵乘法学习记录

發(fā)布時間：2023/12/3 编程问答 40 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了矩阵乘法学习记录小編覺得挺不錯的,現(xiàn)在分享給大家,幫大家做個參考.

這要從校賽的一個區(qū)間與非操作題說起，群里大佬用的ddp思想使其滿足結(jié)合律，但是我連矩陣乘法都不會于是從頭開始學(xué)習(xí)矩陣乘法。

P3390 【模板】矩陣快速冪

和快速冪一模一樣，只是把數(shù)乘換成矩陣乘，只需要定義結(jié)構(gòu)體矩陣然后重載一下乘法*即可。
注意：
$1$ 乘以任何數(shù)都等于這個數(shù)本身
單位矩陣乘以任何矩陣就等于這個矩陣本身

#define IO ios::sync_with_stdio(false);cin.tie();cout.tie(0) #include<cstring> #include<iostream> #include<algorithm> using namespace std; typedef long long ll; const ll mod=1e9+7; const int N=110; int n; ll k; struct node {ll m[N][N];node(){memset(m,0,sizeof m);};node operator *(const node &b) const{node res;for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)for(int k=1;k<=n;k++) res.m[i][j]=(res.m[i][j]+m[i][k]*b.m[k][j])%mod;return res;} }; node qmi(node a,ll b) {node res;for(int i=1;i<=n;i++)// 單位矩陣res.m[i][i]=1;while(b){if(b&1) res=res*a;a=a*a;b>>=1;}return res; } int main() {IO;int T=1;//cin>>T;while(T--){node a;cin>>n>>k;for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++) cin>>a.m[i][j];node res=qmi(a,k);for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=n;j++) cout<<res.m[i][j]<<' ';cout<<'\n';}}return 0; }

P1962 斐波那契數(shù)列

$[0011][fn?2fn?1]=[fn?1fn]→[0011]n?2[f1f2]=[fn?1fn]\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} f_{n-2}\\f_{n-1} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} f_{n-1}\\f_{n} \end{bmatrix} \to\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1&1 \end{bmatrix}^{n-2} \begin{bmatrix} f_{1}\\f_{2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} f_{n-1}\\f_{n} \end{bmatrix}$
矩陣乘法滿足結(jié)合律，由此可以根據(jù)上述式子進(jìn)行矩陣快速乘

#define IO ios::sync_with_stdio(false);cin.tie();cout.tie(0) #include<cstring> #include<iostream> #include<algorithm> using namespace std; typedef long long ll; const ll mod=1e9+7; const int N=110; int sz;//矩陣大小 ll n,k; struct node {ll m[N][N];node(){memset(m,0,sizeof m);};node operator *(const node &b) const{node res;for(int i=1;i<=sz;i++)for(int j=1;j<=sz;j++)for(int k=1;k<=sz;k++) res.m[i][j]=(res.m[i][j]+m[i][k]*b.m[k][j])%mod;return res;} }; node qmi(node a,ll b) {node res;for(int i=1;i<=sz;i++)// 單位矩陣res.m[i][i]=1;while(b){if(b&1) res=res*a;a=a*a;b>>=1;}return res; } int main() {IO;int T=1;//cin>>T;while(T--){cin>>n;if(n<=2) {cout<<1<<'\n';continue;}sz=2;node a;a.m[1][1]=0,a.m[1][2]=1,a.m[2][1]=1,a.m[2][2]=1;node res=qmi(a,n-2);ll ans=0;ans=(ans+res.m[1][2]+res.m[2][2])%mod;cout<<ans<<'\n';}return 0; }

P1939 【模板】矩陣加速（數(shù)列）和上面這個題基本一樣。

P2044 [NOI2012]隨機(jī)數(shù)生成器

$[a101][xn?1c]=[xnc]→[a101]n[x0c]=[xnc]\begin{bmatrix} a & 1 \\ 0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{n-1}\\c \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x_{n}\\c \end{bmatrix} \to\begin{bmatrix} a & 1 \\ 0&1 \end{bmatrix}^n \begin{bmatrix} x_{0}\\c \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x_{n}\\c \end{bmatrix}$
這題比較dt的地方是兩個數(shù)相乘會爆long long，于是上龜速乘防止乘積爆

#define IO ios::sync_with_stdio(false);cin.tie();cout.tie(0) #include<cstring> #include<iostream> #include<algorithm> using namespace std; typedef long long ll; const int N=110; int sz;//矩陣大小 ll mod; ll mul(ll a,ll b)//龜速乘 {ll res=0;a%=mod;while(b){if(b&1) res=(res+a)%mod;a=(a+a)%mod;b>>=1;}return res; } struct node {ll m[N][N];node(){memset(m,0,sizeof m);};node operator *(const node &b) const{node res;for(int i=1;i<=sz;i++)for(int j=1;j<=sz;j++)for(int k=1;k<=sz;k++) res.m[i][j]=(res.m[i][j]+mul(m[i][k],b.m[k][j]))%mod;return res;} }; node qmi(node a,ll b) {node res;for(int i=1;i<=sz;i++)// 單位矩陣res.m[i][i]=1;while(b){if(b&1) res=res*a;a=a*a;b>>=1;}return res; } int main() {IO;int T=1;//cin>>T;sz=2;ll a,c,x0,n,g;while(T--){cin>>mod>>a>>c>>x0>>n>>g;node now;now.m[1][2]=now.m[2][2]=1,now.m[1][1]=a;node res=qmi(now,n);ll ans=(mul(res.m[1][1],x0)+mul(res.m[1][2],c))%mod%g;cout<<ans<<'\n';}return 0; }

SP1716 GSS3 - Can you answer these queries III

矩陣乘法優(yōu)化dp
考慮P1115 最大子段和如何做？
不難得知設(shè)計dp即可。
狀態(tài)表示： $f_i$ 表示以第 $i$ 個位置為結(jié)尾最大字段和， $gi=max(f1,f2,…,fi)g_i=max(f_1,f_2,\dots,f_i)$
狀態(tài)轉(zhuǎn)移： $f_i=max(f_{i-1}+a_i,a_i)$ ， $g_i=max(g_{i-1},f_i)$
最終答案即是 $g_n$

總所周知遞推不滿足結(jié)合律，換句話說就是你必須一步一步遞推，不過矩陣乘法能夠優(yōu)化遞推斐波那契前 n 項(xiàng)和，而優(yōu)化的方式就是使計算過程具有結(jié)合律，那么如果我們通過矩陣操作使一些不具有結(jié)合律的東西具有結(jié)合律那么我們就能用線段樹維護(hù)這個東西，花費(fèi)log代價顯然使非常優(yōu)秀的。

效仿矩陣乘法優(yōu)化斐波那契的方法尋找矩陣
$[ai?∞aiai0ai?∞?∞0]?[fn?1gn?10]=[fngn0]\begin{bmatrix} a_i&-\infty&a_i\\a_i&0&a_i\\ -\infty&-\infty&0\\ \end{bmatrix}? \begin{bmatrix} f_{n-1}\\g_{n-1}\\0 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} f_n\\g_n\\0 \end{bmatrix}$
$?$ 表示一個運(yùn)算
$[abcd]?[ef]=[max(a+e,b+f)max(c+e,d+f)]\begin{bmatrix} a&b\\c&d \end{bmatrix}? \begin{bmatrix} e\\f \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}max(a+e,b+f)\\max(c+e,d+f) \end{bmatrix}$
不難發(fā)現(xiàn)上述定義的新運(yùn)算是具有結(jié)合律的！！！
對比此運(yùn)算和矩陣乘法與運(yùn)算不難發(fā)現(xiàn)：
矩陣乘法中的“乘”相當(dāng)于這里的“加”而矩陣乘法中的“加”相當(dāng)于這里的“max”
矩陣乘法滿足結(jié)合律實(shí)際上使“乘”對“加”滿足分配了，而這里“加”對“max”同樣滿足分配率于是新運(yùn)算具有結(jié)合律。

滿足結(jié)合律并且區(qū)間查詢單點(diǎn)修改無疑線段樹，只需要每個節(jié)點(diǎn)維護(hù)一個矩陣即可。

考慮答案在哪?
定義：
$Ai=[ai?∞aiai0ai?∞?∞0]A_i= \begin{bmatrix} a_i&-\infty&a_i\\a_i&0&a_i\\ -\infty&-\infty&0\\ \end{bmatrix}$
$Bi=A1?A2?…?AiB_i= A_1?A_2?\dots\ ?A_i$
那么再看此題 P1115 最大子段和，不難得出
$Bn?[000]=[fngn0]B_n ?\begin{bmatrix} 0\\0\\0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} f_n\\g_n\\0 \end{bmatrix}$
答案就是 $g_n$ ，不難發(fā)現(xiàn)答案就蘊(yùn)藏著 $B_n$ 矩陣中，分析一下不難得知如果 $Bn=[b11b12b12b21b22b23b31b32b33]B_n=\begin{bmatrix} b_{11}&b_{12}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}\\ b_{31}&b_{32}&b_{33}\\ \end{bmatrix}$ 那么答案就是 $max(b_{21},b_{23})$

而本題有了之前的工作只需要套個線段樹就是基本的區(qū)間修改單點(diǎn)查詢問題。

#define IO ios::sync_with_stdio(false);cin.tie();cout.tie(0) #include<cstring> #include<iostream> #include<algorithm> using namespace std; typedef long long ll; const int maxn=3,INF=0x3f3f3f3f; const int N=50010;//投機(jī)取巧 int n,q,a; int sz;//矩陣大小 struct node {int l,r;int m[maxn][maxn];node(){l=r=0;memset(m,0,sizeof m);};node operator *(const node &b) const{node res;res.l=l,res.r=b.r;memset(res.m,-0x3f,sizeof res.m);for(int i=0;i<sz;i++)for(int j=0;j<sz;j++)for(int k=0;k<sz;k++) res.m[i][j]=max(res.m[i][j],m[i][k]+b.m[k][j]);return res;}int ans(){return max(m[1][0],m[1][2]);} }tree[N<<2]; void pushup(int u) {tree[u]=tree[u<<1]*tree[u<<1|1]; } void build(int u,int l,int r) {if(l==r){cin>>a;//這樣輸入省空間tree[u].l=tree[u].r=r;tree[u].m[0][0]=tree[u].m[1][0]=tree[u].m[0][2]=tree[u].m[1][2]=a;tree[u].m[0][1]=tree[u].m[2][0]=tree[u].m[2][1]=-INF;return;}int mid=l+r>>1;build(u<<1,l,mid);build(u<<1|1,mid+1,r);pushup(u); } void modify(int u,int pos,int x) {if(tree[u].l==tree[u].r){tree[u].m[0][0]=tree[u].m[1][0]=tree[u].m[0][2]=tree[u].m[1][2]=x;return;}int mid=tree[u].l+tree[u].r>>1;if(pos<=mid) modify(u<<1,pos,x);else modify(u<<1|1,pos,x);pushup(u); } node query(int u,int l,int r) {if(tree[u].l>=l&&tree[u].r<=r) return tree[u];int mid=tree[u].l+tree[u].r>>1;if(r<=mid) return query(u<<1,l,r);else if(l>mid)return query(u<<1|1,l,r);else return query(u<<1,l,r)*query(u<<1|1,l,r); } int main() {IO;cin>>n;sz=3;build(1,1,n);cin>>q;while(q--){int op,x,y;cin>>op>>x>>y;if(op==1){if(x>y) swap(x,y);cout<<query(1,x,y).ans()<<'\n';}elsemodify(1,x,y);}return 0; } 創(chuàng)作挑戰(zhàn)賽新人創(chuàng)作獎勵來咯，堅(jiān)持創(chuàng)作打卡瓜分現(xiàn)金大獎

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的矩阵乘法学习记录的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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