考慮點集A，B二分圖
最小點覆蓋：
概念：用最少的點覆蓋二分圖中所有邊。
結論：最小覆蓋點=最大匹配
證明：選擇點集A所有匹配點，如果還存在一條邊的兩個端點都不在匹配點中那么讓該兩點匹配則最大匹配數目會增加，矛盾。
最小邊覆蓋：
概念：用最少的邊覆蓋點集A，B中的所有點。
結論：最小邊覆蓋=總點數-最大匹配
證明：最小邊覆蓋=最大匹配+沒匹配的點數，總點數=2×最大匹配+沒匹配的點數。因此最小邊覆蓋=總點數-最大匹配
最大獨立集
概念：選出最多的點使得點集內部沒有邊。
結論：最大獨立集=總點數-最大匹配
證明：由于最小點覆蓋能過覆蓋所有邊，因此只需選擇除了最小點覆蓋中的點即可。即最大獨立集=總點數-最小覆蓋點=總點數-最大匹配
最小路徑點覆蓋
概念：對于一個有向圖，選出最少的不相交路徑使其覆蓋所有點。
結論：最小路徑覆蓋=總點數-最大匹配
證明：將每個點拆成出點和入點，不妨讓點集A為出點集合，B為入點集合，那么兩點之間的有向邊一定能過對應集合A向集合B中的一條邊。而路徑數目等于起點數目或者終點數目，即出點集合A中所有未匹配點即是終點。讓終點數目最小即匹配數目最多，因此最小路徑覆蓋=總點數-最大匹配
最小路徑重復點覆蓋
概念：對于一個有向圖，選出最少的（能相交）路徑使其覆蓋所有點。
結論：對原圖求傳遞閉包之后再對新圖求最小不相交路徑覆蓋
證明：對于原圖的相交路徑，如A->O->C和B->O->D，我們可以傳遞閉包的方法使之變成A->O->C和B->D這兩條不相交的路徑。對于新圖的不相交路徑我們可以通過傳遞閉包方法連接的路徑中間點加上即原圖的一條相交路徑。

以上全是口胡論述，存在很多不嚴謹之處，不建議新學者看，記下來只是為了方便自己記憶。如果有嚴重錯誤或者更簡潔的論述請在下方評論謝謝。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的二分图相关结论及口胡证明的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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