正題

P2599

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題目大意

給n堆石子，第 i 堆有 $a_i$ 個石子，每次可以從最左邊或者最右邊的一堆里面取若干個，兩個人輪流取，問先手是否存在必勝策略

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解題思路

設 $l_{i,j}$ 為在 $[i,j]$ 右邊添加一堆大小 $l_{i,j}$ 的石子，會使得先手必敗，$r_{i,j}$同理

首先證明 $l_{i,j}$ 只存在一個

如果存在兩個 $l_{i,j}$，那么先手顯然可以從大的直接操作為小的，那么先手必勝，不滿足先手必敗，所以最多有一個 $l_{i,j}$

接下來證明一定存在 $l_{i,j}$

如果不存在 $l_{i,j}$，那么左邊無論加多少個數都是必勝狀態
如果先手選左邊那么必定到必勝狀態，不滿足先手必勝，所以先手肯定選右邊
選了若干數后，一定滿足無論左邊加的是多少都必敗，那么后手在左邊選一個數則又回到了必敗狀態，不滿足先手必勝

綜上，必定存在 $l_{i,j}$

同理必定存在 $r_{i,j}$ 且只存在一個

接下來考慮如何轉移

對于 $l_{i,j}$ 的求解，考慮從 $[i,j?1]$ 轉移，那么必定和 $l_{i,j?1},r_{i,j?1}$ 有關，令 $L=l_{i,j?1},R=r_{i,j?1}$

$R=a_j$，那么先手就是必敗的，所以 $l_{i,j}=0$

對于其他情況，其實就是把必敗的決策點除外，令左右必勝決策點數相同即可
如果先手左邊拿到 L，那么右邊直接取空則先手必敗（右邊同理）
如果先手左邊拿完，那么對于后手就是必勝得狀態
否則先手左邊拿多少必勝決策，右邊拿同樣多即可

最后判斷 $a_1$ 是否等于 $l_{2,n}$ 即可

時間復雜度 $O(n^{2}T)$

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code

#include<cstdio> #include<cstring> #include<iostream> #include<algorithm> #define ll long long #define N 1010 using namespace std; int T,n,a[N],l[N][N],r[N][N]; int main() {scanf("%d",&T);while(T--){scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;++i){scanf("%d",&a[i]);l[i][i]=r[i][i]=a[i];}for(int len=2;len<n;++len)for(int i=1;i<=n-len+1;++i){int j=i+len-1,L,R;L=l[i][j-1];R=r[i][j-1];if(a[j]==R)l[i][j]=0;else if(L<=a[j]&&a[j]<R)l[i][j]=a[j]+1;else if(a[j]<L&&a[j]<R)l[i][j]=a[j];else if(L<a[j])l[i][j]=a[j];else l[i][j]=a[j]-1;L=l[i+1][j];R=r[i+1][j];if(a[i]==L)r[i][j]=0;else if(R<=a[i]&&a[i]<L)r[i][j]=a[i]+1;else if(a[i]<R&&a[i]<L)r[i][j]=a[i];else if(R<a[i])r[i][j]=a[i];else r[i][j]=a[i]-1;}if(l[2][n]!=a[1])puts("1");else puts("0");}return 0; }

總結

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