正題

P3312

---

題目大意

給出n,m,a，求$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m\sigma (gcd(i,j))[\sigma (gcd(i,j))\le a]$$

---

解題思路

先不考慮a的條件限制
$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m\sigma (gcd(i,j))$$
$$\sum _{d=1}^n\sigma (d)\sum _{i=1}^{n/d}\sum _{j=1}^{m/d}\sum _{c|i,c|j}\mu (c)$$
$$\sum _{d=1}^n\sigma (d)\sum _{c|i,c|j}\mu (c)?\frac{n}{cd}??\frac{m}{cd}?$$

設k=cd，枚舉k

$$\sum _{k=1}^n?\frac{n}{k}??\frac{m}{k}?\sum _{d|k}\sigma (d)\mu (\frac{k}{d})$$

對于后面一部分可以預處理出來

然后整除分塊即可

考慮a的限制條件，可以離線處理

先對a進行排序，只計算滿足條件的d，對于一段區間的和可以用樹狀數組

時間復雜度 $O(T\sqrt{n}logn)$

---

code

#include<cstdio> #include<cstring> #include<iostream> #include<algorithm> #define ll long long #define N 100100 #define mod 2147483648 #define mp make_pair #define fs first #define sn second using namespace std; ll t,w,n,m,ans,now,g[N],f[N],p[N],c[N],qs[N],mu[N],prime[N]; pair<ll,ll>a[N]; struct node {ll n,m,a,v; }q[N]; bool cmp(node a,node b) {return a.a<b.a; } void work() {mu[1]=f[1]=1;for(ll i=2;i<=1e5;++i){if(!p[i]){prime[++w]=i;mu[i]=-1;f[i]=i+1;g[i]=i+1;}for(ll j=1;j<=w&&i*prime[j]<=1e5;++j){p[i*prime[j]]=1;if(i%prime[j]==0){g[i*prime[j]]=g[i]*prime[j]+1;f[i*prime[j]]=f[i]/g[i]*g[i*prime[j]];}else{mu[i*prime[j]]=-mu[i];g[i*prime[j]]=prime[j]+1;f[i*prime[j]]=f[i]*g[i*prime[j]];}}}for(ll i=1;i<=1e5;++i)a[i]=mp(f[i],i);sort(a+1,a+1+100000);return; } void add(ll x,ll y) {for(;x<=1e5;x+=x&-x)(c[x]+=y)%=mod;return; } ll ask(ll x) {ll sum=0;for(;x;x-=x&-x)(sum+=c[x])%=mod;return sum; } int main() {scanf("%lld",&t);for(ll i=1;i<=t;++i){scanf("%lld%lld%lld",&q[i].n,&q[i].m,&q[i].a);q[i].v=i;}sort(q+1,q+1+t,cmp);work();now=1;for(ll i=1;i<=t;++i){while(now<=1e5&&a[now].fs<=q[i].a){for(ll j=1;a[now].sn*j<=1e5;++j)add(a[now].sn*j,(a[now].fs*mu[j]%mod+mod)%mod);now++;}ans=0;n=q[i].n;m=q[i].m;for(ll l=1,r=0;l<=min(n,m);l=r+1){r=min(n/(n/l),m/(m/l));(ans+=(ask(r)-ask(l-1)+mod)%mod*(n/l)%mod*(m/l)%mod)%=mod;}qs[q[i].v]=ans;}for(int i=1;i<=t;++i)printf("%lld\n",qs[i]);return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【数论】数表（P3312）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。