異或

題目大意

問你不小于$n$的數對$(a,b)$，有多少個滿足$gcd(a,b)=a\oplus b$

輸入樣例#1

12

輸出樣例#1

8

輸入樣例#2

123456

輸出樣例#2

214394

數據范圍

測試點數據規模

1	10
2	100
3	1000
4	5000
5	10000
6	100000
7	500000
8	1000000
9	5000000
10	20000000

解題思路

我們設$c=gcd(a,b)$
我們可以枚舉$c$
然后枚舉$a$是$c$的多少倍
由此得出$a,c$
我們可以通過$gcd$求出$b$然后判斷是否滿足$a\oplus b=c$
但是這個時間復雜度過大，我們要進行優化

---

我們先證明$a?b?a\oplus b$
我們觀察以下兩個字符串$（x>y）$
$x:$ 11001
$y:$ 00101
$xor:$ 11100
1$.$對于$x,y$都是1的位$xor$和$?$得出結果都是0

2$.$對于只有$y$是1的位
因為$a>b$，所以在更高的位肯定有只有$x$是1的位，這樣減出來的結果才可能是正數
因此$?$得出的結果是更高一位只有$x$是1的位減這一位
而$xor$得出的是這兩位的和

3$.$對于只有$x$是1且無需用去減的位$xor$和$?$得出結果都是1
綜上所述，$a?b?a\oplus b$

---

現在我們來證明$c?a?b$
因為$c=gcd(a,b)$
我們設
$a=c?as$
$b=c?bs$

若$a=b$則
$gcd(a,b)=1$
$a\oplus b=0$
$gcd(a,b)=a\oplus b$
$\therefore a=b$

$\because a=b且a?b$
$a>b$
$\because as>bs$
$as?bs?1$
$(as?bs)\times c?c$
$a?b?c$
若$a?b=c$
則$c<a?b?a\oplus b$
$c<a\oplus b$
無法滿足$c=a\oplus b$
$\therefore a?b=c$
這樣我們通過$b=a?c$求出$b$
然后判斷$c$是否等于$a\oplus b$即可

代碼

#include<cstdio> #include<cstring> #include<iostream> #include<algorithm> #define ll long long using namespace std; int n, a, b, ans; int main() {scanf("%d", &n);for (int i = 1; i <= n / 2; ++i)for (int j = 2; i * j <= n; ++j){a = i * j;b = a - i;//求bif (i == (a^b)) ans++;}printf("%d", ans);return 0; }

總結

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