計數

• 考慮轉化題目，變為網格上有若干個點，要從$(0,0)$走到$(n,a_{n+1})$ ，每一步只能往右走一步或往上走一步，且若當前在$(i,j)$ ，必須滿足$0\le j\le a_{i+1}$，其中$a_{n+1}=a_n$ 。要對每個$k$求出有多少條恰走過$k$次形如$(i,a_{i+1})\to (i+1,a_{i+1})$的步的路徑數。
  

上圖是n=9的一種情況，題目相當于求在規定只能向右走/向上走的情況下，有多少條從s到t的、不跨越紅線（可與紅線重疊）的、恰走過$k$次形如$(i,a_{i+1})\to (i+1,a_{i+1})$的步的路徑。

• 不考慮最后的那個怪異條件，這就是道小奧題（當時用標數法解決）
• 考慮轉化一下最后的條件：
  引理： 對于其中一個$k$，其答案等價于從$(k,1)$走到$(n,a_n)$的方案數。
  證明： 對$n$歸納，在$n=1$時顯然成立。在$n>1$時考慮初次走到的橫坐標為1的點的縱坐標是什么。
  記$cn{t}_{(i,j),k}$表示從$(i,j)$到$(n,a_{n+1})$的、恰走過$k$次形如$(i,a_{i+1})\to (i+1,a_{i+1})$的步的符合條件的路徑數，
  $an{s}_{(i,j)}$表示從$(i,j)$到$(n,a_{n+1})$的，不考慮走了幾次形如$(i,a_{i+1})\to (i+1,a_{i+1})$的步的符合條件的路徑數。
  若$k=0,$
  $cn{t}_{(0,0),k}={\sum }_{y=0}^{a_1?1}cn{t}_{(1,y),k}$（y:初次走到的橫坐標為1的點的縱坐標）
  $={\sum }_{y=0}^{a_1?1}an{s}_{(1,y+1)}$（由歸納假設得出）
  $={\sum }_{y^{\prime }=1}^{a_1}an{s}_{(1,y^{\prime })}=an{s}_{(0,1)}$
  若$k>0,$
  $cn{t}_{(0,0),k}={\sum }_{y=0}^{a_1?1}cn{t}_{(1,y),k}+cn{t}_{(1,a_1),k?1}$
  $={\sum }_{y=0}^{a_1?1}an{s}_{(k+1,y+1)}+an{s}_{(k,a_1+1)}$
  $={\sum }_{y^{\prime }=1}^{a_1}an{s}_{(k+1,y^{\prime })}+an{s}_{(k,a_1+1)}=an{s}_{(k,1)}$
• 考慮如何求$an{s}_{(k,1)}$：
  像我前面說的，小奧標數法肯定正確，但復雜度太低了，我們必須另辟蹊徑。$an{s}_{(k,1)}$難求是因為紅線的限制，否則在一個普通的矩形網格內從$(i,j)$到$(i+a,j+b)$$(a\ge 0,b\ge 0)$的合法路徑數可用$C_{a+b}^a$算出
  
• 因此我們考慮將題目不規則的網格活動區間劃分成數個矩形，分治求解。
• 最自然的想法是每一刀都豎著切，直接劃分為若干個豎直的矩形：
  

但這樣太慢了，肯定會T

• 考慮豎切、橫切交替進行，把原區間大概劃分成這樣：
  

可以證明復雜度是正確的

• 考慮具體如何分治：
  假設我們切完后把原區間分為了右上、右下矩形、左下三個部分。
  題目所求為淺紫線上的點到$(n,a_{n+1})$，只向上/向右走、不跨越紅線的路徑數。
  
  
• 右下矩形部分粉紫線上的點到$(n,a_{n+1})$，要么經右下矩形部分的橙線上的點，要么經深紫線上的點，所以
  $該段粉紫線上某點到(n,a_{n+1})的路徑數=\sum 粉紫線上該點到右下矩形部分的橙線上某點的路徑數\times 右下矩形部分的橙線上該點到(n,a_{n+1})的路徑數+\sum 粉紫線上該點到深紫線上某點的路徑數\times 深紫線上該點到(n,a_{n+1})的路徑數$
• 又因為右下部分為矩形，所以粉紫線上某點到右下矩形部分的橙線上某點的路徑數、粉紫線上某點到深紫線上某點的路徑數均可用組合數$O(1)$求出。
• 在分治的第一層，橙線上的點到$(n,a_{n+1})$的路徑數是已知的(均為1)，但深紫線上的點到$(n,a_{n+1})$的路徑數未知。所以我們先遞歸右上部分，求出深紫線上的點到$(n,a_{n+1})$的路徑數。
• 如此，我們便可以更新粉紫線上的點到$(n,a_{n+1})$的路徑數
• 左下部分淺紫線上的點到$(n,a_{n+1})$的路徑數可以通過遞歸左下部分求出，但為此我們必須先求出黃線上的點到$(n,a_{n+1})$的路徑數：
  黃線上的點到$(n,a_{n+1})$，要么經右下矩形部分的橙線上的點，要么經深紫線上的點，所以
  $黃線上某點到(n,a_{n+1})的路徑數=\sum 黃線上該點到右下矩形部分的橙線上某點的路徑數\times 右下矩形部分的橙線上該點到(n,a_{n+1})的路徑數+\sum 黃線上該點到深紫線上某點的路徑數\times 深紫線上該點到(n,a_{n+1})的路徑數$
• 黃線和粉紫線的更新都可以用NTT搞出來。總時間復雜度$O(nlo{g}^{2}n)$

ps:為了保證不重不漏，當我說"某點到$\times \times$線上某點的路徑數"時，那么所到達的該線上的點是所有該線上的點中最先被到達的。
以下圖為例，某點到橙線上的$(x,y)$的路徑數，統計的路徑的最后一步必為$(x?1,y)\to (x,y)$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的[XSY] 计数（DP，NTT，分治）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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