P3327 約數(shù)的個數(shù)和

題意

$d(x)$為約數(shù)的個數(shù),對于每個詢問,回答${\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^{m}d(ij)$.

題解

這個題推得我頭皮發(fā)麻,然后還沒推出來,后來發(fā)現(xiàn)要做這題的先知道一個性質(zhì):

$d(ij)={\sum }_{x|i}{\sum }_{y|j}[gcd(x,y)=1]$

通過這個性質(zhì),我們把原式寫成
${\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^m{\sum }_{x|i}{\sum }_{y|j}[gcd(x,y)=1]$

我們知道${\sum }_{d|x}\mu (d)=[x=1]$,代換進(jìn)去,就得到了:

${\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^m{\sum }_{x|i}{\sum }_{y|j}{\sum }_{d|gcd(x,y)}\mu (d)$

變枚舉$i,j$為枚舉$x,y$:

${\sum }_{x=1}^n{\sum }_{y=1}^m?\frac{n}{x}??\frac{m}{y}?{\sum }_{d|gcd(x,y)}\mu (d)$

再轉(zhuǎn)為枚舉$d$,得到:

${\sum }_{d=1}\mu (d){\sum }_{x=1}^{n/d}{\sum }_{y=1}^{m/d}?\frac{n}{xd}??\frac{m}{yd}?$

也即

${\sum }_{d=1}\mu (d)({\sum }_{x=1}^{n/d}?\frac{n}{xd}?)({\sum }_{y=1}^{m/d}?\frac{m}{yd}?)$

記$f(x)={\sum }_{i=1}^x?\frac{x}{i}?$,則原式:

${\sum }_{d=1}\mu (d)f(?\frac{n}{d}?)f(?\frac{m}{d}?)$

若$f(x)$可以$O(1)$查詢的話,上面的式子就可以$O(\sqrt{n})$數(shù)論分塊求出.

顯然,$f(x)$可以用$O(n\sqrt{n})$的時間復(fù)雜度預(yù)處理出來,方法也是數(shù)論分塊.

代碼

// luogu-judger-enable-o2 #include <iostream> #include <algorithm> #include <cstring> #define pr(x) std::cout << #x << ':' << x << std::endl #define rep(i,a,b) for(int i = a;i <= b;++i) typedef long long LL; const int N = 50010; int n,m,T; int prime[N+10],mu[N+10],pcnt,zhi[N+10],low[N+10]; void sieve() {mu[1] = zhi[1] = 1;for(int i = 2;i <= N;++i) {if(!zhi[i]) {prime[pcnt++] = i;mu[i] = -1;}for(int j = 0;j < pcnt && i * prime[j] <= N;++j) {zhi[i*prime[j]] = 1;if(i % prime[j] == 0) {mu[i*prime[j]] = 0;break;}else{mu[i*prime[j]] = -mu[i];}}} } LL F[N+10]; int main() {std::ios::sync_with_stdio(false);std::cin >> T;sieve();for(int i = 1;i <= N;++i) {mu[i] += mu[i-1];}for(int i = 1;i <= N;++i) {for(int x = 1,last;x <= i;x = last+1) {last = i/(i/x);F[i] += (last-x+1)*(i/x);}}while(T--) {std::cin >> n >> m;LL ans = 0;int lim = n > m?m:n;for(int x = 1,nx1,nx2,nxt;x <= lim;x = nxt+1) {nx1 = n/(n/x);nx2 = m/(m/x);nxt = nx1>nx2?nx2:nx1;ans += (mu[nxt]-mu[x-1])*F[n/x]*F[m/x];}std::cout << ans << std::endl;}return 0; }

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的P3327 约数的个数和 [约数函数性质,数论分块]的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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