區間的交

題目來源

孫耀峰Segment_Tree.pdf 原創

題目描述

• 給定$n$個區間,$[l_i,r_i]$,可以選出其中一些區間,設選出$tot$個,令$x$表示這$tot$個區間交的長度.
• 求$min\{x,tot\}$
• $n\le 10^5,1\le x_i\le y_i\le n$

題目解答

我們發現當$tot$增大時$x$會減小,具有單調性.

我們把線段看成是平面上二維的點$(l,r)$.

那么我們考慮從小到大枚舉線段的交的右端點$R$,如果,交線段的長度為$x$,那么交線段左端點就是$L=R?x+1$,而所有包含這個交線段的線段(此時被表示成了數點)我們可以用一顆線段樹來維護,因此我們可以很快的在線段樹上找到所有$l\le L且r\ge R$的點的個數,這些個數就是$tot$.

考慮到$x=R?L+1$是一個關于$L$減函數,而$tot$則是關于$L$的增函數.
也就是說,隨著$L$的增大,$x$在增大,$tot$在減小,則顯然答案$min\{x,tot\}$在滿足$x\le tot$最大的$L$時取得最大值$tot$.

考慮到單調性,我們使用二分法,可以很快的找到對于一個$R$,滿足$x\le tot$最大的$L$.

原題解

下面是孫耀峰聚聚的題解

總結

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