Description

在圖論中，樹的定義是連通且無環的無向圖。對于一棵有?$n$?個節點且節點從?$1$?到?$n$?編號的樹，它的 Prufer 序列是一個唯一的長為?$n?2$?的標號序列。 Prufer 序列的構造方法：每次刪除樹中標號最小的葉子節點（即度為?$1$?的節點），將該點的鄰居加到當前 Prufer 序列的末尾，直到只剩兩個節點為止。

例子：

給定一個?$n$?個頂點（從?$1$?到?$n$?標號），?$m$?條邊的無向圖?$G$（$G$?中無重邊或自環）。隨機選擇?$G$?的一棵生成樹，計算他的 Prufer 序列的和?$S$，重復元素只算一次。 請計算隨機變量?$S$?的期望。注意，$G$?的生成樹或某棵生成樹的 Prufer 序列都可能不存在，這種情況下，我們認為隨機變量?$S$?的值為?$0$。

為了避免精度問題， 算出實際的期望值乘以圖?$G$?的不同生成樹的數目以后的值即可。 這個值可能很大，請輸出它對?${10}^9+7$?取模以后的值。

Input

每個輸入文件包含多組測試數據。輸入文件的第一行是測試數據組數?$T$?($T\le 10$)。 對于每組測試數據，第一行是兩個整數?$n,m$?($3\le n\le 100,0\le m\le \frac{(n?1)n}{2}$?），分別是圖的點數和邊數；接下來?$m$?行，每行包含兩個整數?$u,v$（$1\le u,v\le n$，$u\ne v$），表示圖中的一條邊。

Output

輸出?$T$?行，每行是對應的答案。

Sample Input

1 3 3 1 2 2 3 1 3

Sample Output

6

題目大意：求所有生成樹的prufer序列和（prufer中有重復序列的只算一次！！！）

題解：

這樣的話，對于每一顆生成樹，我們可以把所有的點全都加進去，然后再減去葉子結點的和。

我們不可能找到所有的生成樹然后一個一個的計算，因此我們用矩陣樹定理來做。

我們先計算圖所有的點的和，并且乘以生成樹的數量，把他們放在sum里。然后再把所有的葉子結點減去，就好了

如果一個葉子節點出現在一顆子樹里，那么把這個點去掉，仍然可一得到圖的該生成樹，而如果這個點是內部節點就不行了。

注意：如果這個葉子節點的度不為1，那么要用這個葉子節點的度數乘以生成樹的數量，才是這個葉子節點對應生成樹的個數。

sum -= 去掉該節點生成樹的數量*該節點的度*該節點的值。

最后得到的sum就是答案

代碼：

#include<iostream>。 #include<cmath> #include <cstring> using namespace std; #define zero(x)((x>0? x:-x)<1e-15) #define int long long int const MAXN = 105; const int mod = 1e9 + 7; int a[MAXN][MAXN]; int b[MAXN][MAXN]; int g[103][103]; int d[105]; int n, m; int det(int a[MAXN][MAXN], int n){ int s=0;for(int i=0; i<n; i++){ int r=i; for(; r<n; r++) // error-prone if(a[r][i]) break; if(r==n+1) return 0; if(r!=i){ s^=1; for(int j=i; j<n; j++) swap(a[i][j], a[r][j]); } for(int j=i+1; j<n; j++){ int x=i, y=j; for(; a[y][i]; ){ // print(a, n); int t=a[y][i]/a[x][i]; if(t){ for(int k=i; k<n; k++){ a[y][k] -= t*a[x][k]%mod; a[y][k] %= mod; } if(a[y][i]==0) break; } swap(x, y); } if(x!=i){ for(int k=i; k<n; ++k) swap(a[x][k], a[y][k]); s ^= 1; } } } int res=1; for(int i=0; i<n; i++) res*=a[i][i], res%=mod; if(s){ res=-res; }if(res < 0) res+=mod; return res; } void prep(int n,int x) {for(int i = 0;i < n;i++){for(int j = 0;j < n;j++){a[i][j] = (i == j)?d[i]-g[i][x]:-g[i][j];}}if(x + 1){for(int i = 0;i < n;i++) a[x][i] = a[i][x] = 0;a[x][x] = 1;} }main() { int cas;scanf("%lld", &cas);while (cas--) {memset(g,0,sizeof(g));memset(d,0,sizeof(d));memset(a,0,sizeof(a));memset(b,0,sizeof(b));scanf("%lld%lld", &n,&m);for(int i = 0;i < m;i++){int u,v;scanf("%lld%lld",&u,&v);u--,v--;d[u]++;d[v]++;g[u][v] = g[v][u] = 1;}prep(n,-1);int sum = det(a,n-1)*((1+n)*n/2) % mod;for(int i = 0;i < n-1;i++){prep(n,i);sum = (sum - (i+1)*d[i] % mod * det(a,n-1) % mod + mod)%mod;//cout<<':'<<sum<<endl;}prep(n,n-1);sum = (sum - n*d[n-1] % mod * det(a,n-2) % mod + mod)%mod;cout<<sum<<endl;}return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的Prufer序列 生成树定理的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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