轉(zhuǎn)載自? ??漫畫：什么是時(shí)間復(fù)雜度

時(shí)間復(fù)雜度的意義

究竟什么是時(shí)間復(fù)雜度呢？讓我們來想象一個(gè)場(chǎng)景：

某一天，小灰和大黃同時(shí)加入了一個(gè)公司......

?

一天過后，小灰和大黃各自交付了代碼，兩端代碼實(shí)現(xiàn)的功能都差不多。

大黃的代碼運(yùn)行一次要花100毫秒，內(nèi)存占用5MB。

小灰的代碼運(yùn)行一次要花100秒，內(nèi)存占用500MB。

于是......

?

?

由此可見，衡量代碼的好壞包括兩個(gè)非常重要的指標(biāo)：

1.運(yùn)行時(shí)間

2.占用空間

?

?

基本操作執(zhí)行次數(shù)

關(guān)于代碼的基本操作執(zhí)行次數(shù)，我們用四個(gè)生活中的場(chǎng)景來做一下比喻：

場(chǎng)景1.?給小灰一條長(zhǎng)10寸的面包，小灰每3天吃掉1寸，那么吃掉整個(gè)面包需要幾天？

?

答案自然是 3 X 10 = 30天。

如果面包的長(zhǎng)度是 N 寸呢？

此時(shí)吃掉整個(gè)面包，需要 3 X n = 3n 天。

如果用一個(gè)函數(shù)來表達(dá)這個(gè)相對(duì)時(shí)間，可以記作?T（n） = 3n。

?

場(chǎng)景2.??給小灰一條長(zhǎng)16寸的面包，小灰每5天吃掉面包剩余長(zhǎng)度的一半，第一次吃掉8寸，第二次吃掉4寸，第三次吃掉2寸......那么小灰把面包吃得只剩下1寸，需要多少天呢？

這個(gè)問題翻譯一下，就是數(shù)字16不斷地除以2，除幾次以后的結(jié)果等于1？這里要涉及到數(shù)學(xué)當(dāng)中的對(duì)數(shù)，以2位底，16的對(duì)數(shù)，可以簡(jiǎn)寫為log16。

因此，把面包吃得只剩下1寸，需要 5 X log16 = 5 X 4 = 20 天。

如果面包的長(zhǎng)度是 N 寸呢？

需要?5 X logn = 5logn天，記作?T（n） =?5logn。

場(chǎng)景3.??給小灰一條長(zhǎng)10寸的面包和一個(gè)雞腿，小灰每2天吃掉一個(gè)雞腿。那么小灰吃掉整個(gè)雞腿需要多少天呢？

答案自然是2天。因?yàn)橹徽f是吃掉雞腿，和10寸的面包沒有關(guān)系?。

如果面包的長(zhǎng)度是 N 寸呢？

無論面包有多長(zhǎng)，吃掉雞腿的時(shí)間仍然是2天，記作?T（n） = 2。

?

場(chǎng)景4.??給小灰一條長(zhǎng)10寸的面包，小灰吃掉第一個(gè)一寸需要1天時(shí)間，吃掉第二個(gè)一寸需要2天時(shí)間，吃掉第三個(gè)一寸需要3天時(shí)間.....每多吃一寸，所花的時(shí)間也多一天。那么小灰吃掉整個(gè)面包需要多少天呢？

答案是從1累加到10的總和，也就是55天。

如果面包的長(zhǎng)度是 N 寸呢？

此時(shí)吃掉整個(gè)面包，需要 1+2+3+......+ n-1 + n = (1+n)*n/2 = 0.5n^2 + 0.5n。

記作?T（n） =?0.5n^2 + 0.5n。

上面所講的是吃東西所花費(fèi)的相對(duì)時(shí)間，這一思想同樣適用于對(duì)程序基本操作執(zhí)行次數(shù)的統(tǒng)計(jì)。剛才的四個(gè)場(chǎng)景，分別對(duì)應(yīng)了程序中最常見的四種執(zhí)行方式：

場(chǎng)景1，?T（n） = 3n，執(zhí)行次數(shù)是線性的。

void eat1(int n){for(int i=0; i<n; i++){;System.out.println("等待一天");System.out.println("等待一天");System.out.println("吃一寸面包");} }

vo

場(chǎng)景2，?T（n） = 5logn，執(zhí)行次數(shù)是對(duì)數(shù)的。

void eat2(int n){for(int i=1; i<n; i*=2){System.out.println("等待一天");System.out.println("等待一天");System.out.println("等待一天");System.out.println("等待一天");System.out.println("吃一半面包");} }

場(chǎng)景3，T（n） = 2，執(zhí)行次數(shù)是常量的。

void eat3(int n){System.out.println("等待一天");System.out.println("吃一個(gè)雞腿"); }

場(chǎng)景4，T（n） =?0.5n^2 + 0.5n，執(zhí)行次數(shù)是一個(gè)多項(xiàng)式。

void eat4(int n){for(int i=0; i<n; i++){for(int j=0; j<i; j++){System.out.println("等待一天");}System.out.println("吃一寸面包");} }

漸進(jìn)時(shí)間復(fù)雜度

有了基本操作執(zhí)行次數(shù)的函數(shù) T（n），是否就可以分析和比較一段代碼的運(yùn)行時(shí)間了呢？還是有一定的困難。

比如算法A的相對(duì)時(shí)間是T（n）= 100n，算法B的相對(duì)時(shí)間是T（n）= 5n^2，這兩個(gè)到底誰的運(yùn)行時(shí)間更長(zhǎng)一些？這就要看n的取值了。

所以，這時(shí)候有了漸進(jìn)時(shí)間復(fù)雜度（asymptotic time complectiy）的概念，官方的定義如下：

若存在函數(shù) f（n），使得當(dāng)n趨近于無窮大時(shí)，T（n）/ f（n）的極限值為不等于零的常數(shù)，則稱 f（n）是T（n）的同數(shù)量級(jí)函數(shù)。

記作?T（n）= O（f（n）），稱O（f（n））?為算法的漸進(jìn)時(shí)間復(fù)雜度，簡(jiǎn)稱時(shí)間復(fù)雜度。

漸進(jìn)時(shí)間復(fù)雜度用大寫O來表示，所以也被稱為大O表示法。

?

如何推導(dǎo)出時(shí)間復(fù)雜度呢？有如下幾個(gè)原則：

如果運(yùn)行時(shí)間是常數(shù)量級(jí)，用常數(shù)1表示。

只保留時(shí)間函數(shù)中的最高階項(xiàng)

如果最高階項(xiàng)存在，則省去最高階項(xiàng)前面的系數(shù)。

讓我們回頭看看剛才的四個(gè)場(chǎng)景。

場(chǎng)景1：

T（n） = 3n?

最高階項(xiàng)為3n，省去系數(shù)3，轉(zhuǎn)化的時(shí)間復(fù)雜度為：

T（n） =? O（n）

?

?

場(chǎng)景2：

T（n） = 5logn?

最高階項(xiàng)為5logn，省去系數(shù)5，轉(zhuǎn)化的時(shí)間復(fù)雜度為：

T（n） =? O（logn）

?

?

場(chǎng)景3：

T（n） = 2

只有常數(shù)量級(jí)，轉(zhuǎn)化的時(shí)間復(fù)雜度為：

T（n） =? O（1）

?

場(chǎng)景4：

T（n） =?0.5n^2 + 0.5n

最高階項(xiàng)為0.5n^2，省去系數(shù)0.5，轉(zhuǎn)化的時(shí)間復(fù)雜度為：

T（n） =? O（n^2）

這四種時(shí)間復(fù)雜度究竟誰用時(shí)更長(zhǎng)，誰節(jié)省時(shí)間呢？稍微思考一下就可以得出結(jié)論：

O（1）<?O（logn）<?O（n）<?O（n^2）

在編程的世界中有著各種各樣的算法，除了上述的四個(gè)場(chǎng)景，還有許多不同形式的時(shí)間復(fù)雜度，比如：

O（nlogn）,?O（n^3）,?O（m*n），O（2^n），O（n！）

今后遨游在代碼的海洋里，我們會(huì)陸續(xù)遇到上述時(shí)間復(fù)雜度的算法。

?

時(shí)間復(fù)雜度的巨大差異

?

?

我們來舉過一個(gè)栗子：

算法A的相對(duì)時(shí)間規(guī)模是T（n）= 100n，時(shí)間復(fù)雜度是O(n)

算法B的相對(duì)時(shí)間規(guī)模是T（n）= 5n^2，時(shí)間復(fù)雜度是O(n^2)，

算法A運(yùn)行在小灰家里的老舊電腦上，算法B運(yùn)行在某臺(tái)超級(jí)計(jì)算機(jī)上，運(yùn)行速度是老舊電腦的100倍。

那么，隨著輸入規(guī)模 n 的增長(zhǎng)，兩種算法誰運(yùn)行更快呢？

?

從表格中可以看出，當(dāng)n的值很小的時(shí)候，算法A的運(yùn)行用時(shí)要遠(yuǎn)大于算法B；當(dāng)n的值達(dá)到1000左右，算法A和算法B的運(yùn)行時(shí)間已經(jīng)接近；當(dāng)n的值越來越大，達(dá)到十萬、百萬時(shí)，算法A的優(yōu)勢(shì)開始顯現(xiàn)，算法B則越來越慢，差距越來越明顯。

這就是不同時(shí)間復(fù)雜度帶來的差距。

?

?

?

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的漫画：什么是时间复杂度的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯(cuò)，歡迎將生活随笔推薦給好友。