導(dǎo)航

• VaR模型
• 案例：AAPL
• • 歷史模擬法
  • 參數(shù)模型分析法
  • 非參數(shù)bootstrap
  • Monte-Carlo模擬計(jì)算
• 參考資料

VaR模型

在險(xiǎn)價(jià)值Value-at-risk的定義為，在一定時(shí)期$\Delta t$內(nèi)，一定的置信水平$1?\alpha$下某種資產(chǎn)組合面臨的最大損失，公式為
$$P(\Delta p\le VaR)=1?\alpha$$
在持有組合時(shí)期$\Delta t$內(nèi)，給定置信水平$1?\alpha$下，該組合的最大損失不會(huì)超過(guò)VaR，使用VaR進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)衡量時(shí)，需要給定持有期和置信水平，巴塞爾協(xié)會(huì)規(guī)定持有期標(biāo)準(zhǔn)為10天，置信水平為99%，商業(yè)銀行可以確定各自的水平，J.P.Morgan公司在1994年年報(bào)中設(shè)置持有期為1天，置信水平為95%，VaR值為1500萬(wàn)元，即J.P.Morgan公司在一天內(nèi)所持有的風(fēng)險(xiǎn)頭寸損失小于1500萬(wàn)的概率為95%.

VaR的主要性質(zhì)：

• 變換不變性：$VaR(X+a)=VaR(X)+a,a\in \mathbb{R}$
• 正齊次性：$VaR(aX)=aVaR(X),a<0$，資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)與持有頭寸呈反比關(guān)系
• 協(xié)單調(diào)可加性：$VaR(X_1+X_2)=VaR(X_1)+VaR(X_2)$
• 不滿(mǎn)足次可加性和凸性：不滿(mǎn)足次可加性表示資產(chǎn)組合的風(fēng)險(xiǎn)不一定小于各資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)之和，這個(gè)性質(zhì)導(dǎo)致VaR測(cè)度存在不合理性，因?yàn)榻M合VaR不可以通過(guò)求各個(gè)資產(chǎn)的VaR得出。不滿(mǎn)足凸性表示以VaR為目標(biāo)函數(shù)的規(guī)劃問(wèn)題一般不是凸規(guī)劃，局部最優(yōu)解不一定是全局最優(yōu)解，由于多個(gè)局部極值的存在導(dǎo)致無(wú)法得到最優(yōu)資產(chǎn)組合
• 滿(mǎn)足一階隨機(jī)占優(yōu)
• VaR關(guān)于概率水平$1?\alpha$不是連續(xù)的

VaR對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的衡量具有前瞻性，將預(yù)期損失的規(guī)模和發(fā)生的概率結(jié)合，可以了解在不同置信水平上風(fēng)險(xiǎn)的大小.
但是VaR模型是對(duì)正常市場(chǎng)環(huán)境中金融風(fēng)險(xiǎn)的衡量，如果整體環(huán)境出現(xiàn)了動(dòng)蕩或者發(fā)生極端情況時(shí)，VaR就會(huì)失去參考價(jià)值，一般加上壓力測(cè)試（Stress Test）結(jié)合極值分析進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)衡量，常用的極值分析方法有BMM和POT兩種，極值分析就是當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)模超過(guò)設(shè)定閾值時(shí)進(jìn)行建模，處理風(fēng)險(xiǎn)尾部.
由于金融數(shù)據(jù)的低信噪比特點(diǎn)，導(dǎo)致數(shù)據(jù)呈現(xiàn)尖峰后尾的分布，這種分布導(dǎo)致VaR模型無(wú)法產(chǎn)生一致性度量，針對(duì)風(fēng)險(xiǎn)度量的不一致性可以使用條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值CVaR模型修正，即當(dāng)資產(chǎn)組合損失超過(guò)給定的VaR值時(shí)，資產(chǎn)組合的損失期望，計(jì)算公式如下
$$CVa{R}_{\alpha }=\mathbb{E}(?X\mid ?X\le Va{R}_{\alpha }(x))$$
其中$X$表示資產(chǎn)的損益，CVaR滿(mǎn)足以下性質(zhì)：

• 一致連續(xù)性
• 次可加性，$?X,Y$滿(mǎn)足$\rho (X+Y)\le \rho (X)+\rho (Y)$
• 滿(mǎn)足二階隨機(jī)占優(yōu)
• 滿(mǎn)足單調(diào)性，$?X\le Y$滿(mǎn)足$\rho (X)\le \rho (Y)$

案例：AAPL

歷史模擬法

歷史模擬法計(jì)算AAPL公司的VaR，歷史模擬法使用市場(chǎng)歷史因子的變化來(lái)估計(jì)市場(chǎng)因子未來(lái)的變化，對(duì)市場(chǎng)因子的估計(jì)采用權(quán)值估計(jì)方法，根據(jù)市場(chǎng)因子的未來(lái)價(jià)格水平對(duì)頭寸進(jìn)行重新估值，計(jì)算出頭寸的價(jià)值變化，將組合損益從小到大排序，得到損益分布，通過(guò)計(jì)算給定置信度下的分位數(shù)求出VaR. 這里計(jì)算了置信水平分別為95%和99%的VaR.

歷史模擬法python代碼

import pandas_datareader.data as web import datetime as dt import pandas as pd import numpy as np from scipy.stats import norm import matplotlib.pyplot as pltstart=dt.datetime(2012, 1, 1) end=dt.datetime(2018, 12, 31) df=web.DataReader('AAPL', 'yahoo', start, end)# 對(duì)數(shù)收益率 df['return']=np.log(df['Adj Close']/df['Adj Close'].shift(1)) # 計(jì)算收益率的分位數(shù) # 5%分位數(shù) VaR5=np.percentile(df['return'].dropna(), 5) # 1%分位數(shù) VaR1=np.percentile(df['return'].dropna(), 1)def hm_demo():grey = 0.75, 0.75, 0.75fig=plt.figure(figsize=(8, 6))plt.hist(df['return'], bins=50, alpha=0.5, color=grey)plt.plot([VaR5, VaR5], [0, 100], 'b:', linewidth=2, label='5% VaR')plt.plot([VaR1, VaR1], [0, 100], 'r:', linewidth=2, label='1% VaR')plt.xlim([-0.1, 0.1])plt.ylim([0, 250])plt.legend()# plt.savefig('hm_var.png')plt.show()hm_demo()

參數(shù)模型分析法

分析法利用證券組合的價(jià)值函數(shù)與市場(chǎng)因子之間的近似關(guān)系，推斷市場(chǎng)因子的統(tǒng)計(jì)分布，簡(jiǎn)化VaR計(jì)算.
使用參數(shù)模型分析法需要進(jìn)行數(shù)據(jù)預(yù)處理工作，在Matlab(R 2012a)中常用數(shù)據(jù)預(yù)處理函數(shù)如下

% 計(jì)算股票樣本的均值，標(biāo)準(zhǔn)差，相關(guān)性與beta % 價(jià)格轉(zhuǎn)收益率 tick_ret=tick2Ret(stockPrices, [], 'continuous') mu=mean(tick_ret) % 計(jì)算均值 std=std(tick_ret) % 計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差 mdd=maxdrawdown(tick_ret) % 計(jì)算最大回撤 coef=corrcoef(tick_ret) % 相關(guān)系數(shù)矩陣

tick2ret函數(shù)說(shuō)明

[RetSeries, RetIntervals]=tick2ret(TickSeries, TickTimes, Method) INPUT TickSeries: 價(jià)格序列 TickTimes: 時(shí)間序列 Method: 計(jì)算方法，continuous表示對(duì)數(shù)收益率計(jì)算log(x)-log(y)；simple表示簡(jiǎn)單收益率計(jì)算(x-y)/y OUTPUT RetSeries: 收益率序列 RetIntervals: 收益率對(duì)應(yīng)的時(shí)間間隔

maxdrawdown函數(shù)說(shuō)明

T日組合最大回撤計(jì)算接口為 [MaxDD, MaxDDIndex]=maxdrawdown(Data, Format) INPUT Data: 組合每日總收益序列 Format: 類(lèi)別有 return(默認(rèn)，收益率序列)，arithmetic（算術(shù)布朗運(yùn)動(dòng)），geometric（幾何布朗運(yùn)動(dòng)） OUTPUT MaxDD：最大回撤值 MaxDDIndex：最大回撤值位置

參數(shù)模型法計(jì)算VaR使用接口portvrisk，函數(shù)說(shuō)明如下

ValueAtRisk=portvrisk(PortReturn, PortRisk, RiskThreshold, PortValue) INPUT PortReturn：組合收益率 PortRisk: 組合標(biāo)準(zhǔn)差 RiskThreshold：置信度閾值，默認(rèn)為5% PortValue：組合資產(chǎn)價(jià)值，默認(rèn)為1 OUTPUT ValueAtRisk：風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值

參數(shù)模型法計(jì)算程序如下

pVar=portvrisk(mean(ret), std(ret), [0.01, 0.05], port_value); confidence=pVar/port_value

非參數(shù)bootstrap

對(duì)歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行有放回的采樣，計(jì)算每次采樣的VaR，然后對(duì)所有采樣結(jié)果求期望，設(shè)置采樣容量為300，進(jìn)行200輪采樣的結(jié)果如下

python非參數(shù)bootstrap代碼

def bootstrap_demo():ret=df['return'].dropna()# 有放回采樣def sample(data, size):sample=np.random.choice(data, size, replace=True)VaR5=np.percentile(sample, 5)VaR1=np.percentile(sample, 1)return (VaR5, VaR1)sz, n=300, 200samples=np.array([sample(ret, sz) for _ in range(n)])VaR5, VaR1=np.mean(samples, axis=0)grey = 0.75, 0.75, 0.75fig=plt.figure(figsize=(8, 6))plt.hist(df['return'], bins=50, alpha=0.5, color=grey)plt.plot([VaR5, VaR5], [0, 100], 'b:', linewidth=2, label='5% VaR')plt.plot([VaR1, VaR1], [0, 100], 'r:', linewidth=2, label='1% VaR')plt.xlim([-0.1, 0.1])plt.ylim([0, 250])plt.legend()plt.savefig('bootstrap_var.png')plt.show()bootstrap_demo()

Monte-Carlo模擬計(jì)算

Monte-Carlo計(jì)算歐式期權(quán)價(jià)格可以見(jiàn)這篇博客.
Monte-Carlo模擬的基本步驟是：
1.選擇市場(chǎng)因子變化的隨機(jī)過(guò)程和分布，估計(jì)該過(guò)程的參數(shù)的相關(guān)參數(shù).
2.模擬市場(chǎng)因子的變化路徑，建立對(duì)市場(chǎng)因?yàn)槲磥?lái)的預(yù)測(cè)
3.對(duì)市場(chǎng)因子每個(gè)情景，利用公式計(jì)算價(jià)值和變化
4.根據(jù)組合價(jià)值變化分布模擬結(jié)果，計(jì)算給定置信度下的VaR.
設(shè)置股票價(jià)格符合幾何布朗運(yùn)動(dòng)，即
$$S_{t+1}=S_t\exp ((\mu ?\frac{{\sigma }^2}{2})\Delta t+\sigma \epsilon \sqrt{\Delta t})$$
其中$\mu$為收益率均值，${\sigma }^2$為收益率方差，$\epsilon$為從Gaussian分布中抽樣出的隨機(jī)值.
計(jì)算$\Delta t=1$日的VaR值

python蒙特卡洛模擬計(jì)算代碼

def monte_carlo_demo():ret = df['return'].dropna()mu, sig = np.mean(ret), np.std(ret)def gbm(s0, T, n):dt=T/nprice=s0for _ in range(n):eps=np.random.normal()s=price*np.exp((mu-sig**2/2)*dt+sig*eps*np.sqrt(dt))price=sreturn pricesp=[]s0=1for _ in range(10000):sp.append(gbm(s0, 1, 100))sret=np.array(sp)/s0-1VaR1=np.percentile(sret, 1)VaR5=np.percentile(sret, 5)print(VaR1, VaR5)grey = 0.75, 0.75, 0.75fig=plt.figure(figsize=(8, 6))plt.hist(df['return'], bins=50, alpha=0.5, color=grey)plt.plot([VaR5, VaR5], [0, 100], 'b:', linewidth=2, label='5% VaR')plt.plot([VaR1, VaR1], [0, 100], 'r:', linewidth=2, label='1% VaR')plt.xlim([-0.1, 0.1])plt.ylim([0, 250])plt.legend()plt.savefig('monte-carlo_var.png')plt.show()monte_carlo_demo()

$k$天的VaR可以根據(jù)公式
$$Va{R}_k=Va{R}_1?\sqrt{k}$$
計(jì)算，或者令程序中g(shù)bm參數(shù)T=k進(jìn)行模擬計(jì)算.

參考資料

DCC-Garch VaR 量化小白H
Copula模型估計(jì)組合VaR 量化小白H
python金融實(shí)戰(zhàn)之計(jì)算VaR
Risk Analysis in Python
量化投資以Matlab為工具 中國(guó)工信出版集團(tuán) 李洋 鄭志勇

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【FinE】在险价值(VaR)计算的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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