遞歸

當(dāng)一個(gè)函數(shù)調(diào)用它自己來定義時(shí)稱它為遞歸函數(shù)。（什么叫它自己調(diào)用它自己呢？）

1.1、引出遞歸

從一個(gè)簡單的問題考慮遞歸，求0，1，2， 3，4，5......n的和。

首先定義一個(gè)求和公式：sum(n);

顯然對于（n > 0）： sum(n) = sum(n - 1) + n ;

? （n = 0 ） : sum(0) = 0;

? 成立。

將上述公式翻譯成C++函數(shù)：

unsigned int sum(unsigned int n)

{

    if(0 == n)

    {

        return 0; //基準(zhǔn)情況(遞歸的出口)，sum不能一直調(diào)用它自己吧，總歸要有一個(gè)出口結(jié)束遞歸吧

    }

    else

    {

        return sum(n - 1) + n; //sum(unsigned int)調(diào)用了它自己

    }

}

假設(shè) n = 5 分析一下計(jì)算過程：

sum(5) = sum(4) + 5;

sum(4) = sum(3) + 4;

sum(3) = sum(2) + 3;

sum(2) = sum(1) + 2;

sum(1) = sum(0) + 1;

sum(0) = 0; 當(dāng)sum(0)時(shí)，sum()不再調(diào)用它自己，作為遞歸的出口結(jié)束遞歸。

假設(shè)沒有n = 0, sum(0) = 0 這個(gè)基準(zhǔn)情況作為遞歸的出口跳出遞歸，遞歸就會(huì)一直遞歸下去，沒完沒了直至崩潰。因此遞歸函數(shù)必須有一個(gè)基準(zhǔn)情況作為遞歸出口。

1.2、失敗的遞歸

給出一個(gè)所謂的遞歸函數(shù)：

int bad(unsigned int n)

{

    if(0 == n)

    {

        return 0;

    }

    else

    {

        return bad(n/3 + 1) + n - 1;

    }

}

分析一下以上函數(shù)，函數(shù)給出了 n = 0 的情況作為遞歸的出口，看似沒什么問題。

還是假設(shè)n = 5；

bad(5) ： 調(diào)用bad(5/3 + 1), 即bad(2);

bad(2) : 調(diào)用bad(2/3 + 1), 即bad(1);

bad(1) : 調(diào)用bad(1/3 + 1), 即bad(1);

bad(1) : 調(diào)用bad(1/3 + 1), 即bad(1)..........

bad(1)一直調(diào)用bad(1), 一直調(diào)用到程序崩潰。很明顯bad()函數(shù)定義雖然給出了 n = 0 作為遞歸出口，但是bad()函數(shù)根本不會(huì)推進(jìn)到n = 0 的這種情況。因此遞歸調(diào)用必須總能夠朝著產(chǎn)生基準(zhǔn)情況（遞歸出口）的方向推進(jìn)。

1.3、遞歸和歸納

考慮一個(gè)問題：現(xiàn)在需要將一個(gè)正整數(shù) n 打印出來，但是I/O給出的函數(shù)接口(printDigit)只能處理單個(gè)數(shù)字（即n < 10）。

我們隨便假設(shè)一個(gè)n值：n = 2019，那么單個(gè)數(shù)字打印的順序就是2， 0， 1， 9。換句話說，9是最后一個(gè)打印的，在打印9之前要先打印201，即先打印“201”，再打印“9”；依次類推對于“201”先打印“20”，再打印“1”；對于“20”先打印“2”，再打印“0”；對于2已經(jīng)是單個(gè)數(shù)字，可以直接打印了, 不需要再劃分，再遞歸了，也就是說單個(gè)數(shù)字n < 10即為遞歸的出口。

我們按上述思路細(xì)致的分析一下：

對2019分成2部分: 201 = 2019 / 10; 9 = 2019 % 10;

對201分成2部分：20 = 201 / 10; 1 = 201 % 10;

對20分成2部分：2 = 20 / 10; 0 = 20 % 10;

對于 2 滿足 n < 10 的條件，不再遞歸，直接打印。

現(xiàn)在遞歸已經(jīng)很明顯了，嘗試編寫一下代碼：

//假設(shè)printDigit((unsigned int n)如下，

void printDigit(unsigned int n)

{

    std::cout << n;

}

void print(unsigned int n)

{

    if(n >= 10)

    {

        print(n / 10);

    }

    printDigit(n % 10);

}

代碼編寫好了，現(xiàn)在需要證明以下代碼是否正確：對于n >= 0，數(shù)的遞歸打印算法總是正確的。

證明：用k表示數(shù)字n的包含單個(gè)數(shù)字的個(gè)數(shù)。當(dāng)k = 1，即 n < 10 時(shí)，很明顯程序是正確的，因?yàn)樗恍枰f歸，print()只調(diào)用一次printDigit(), 不調(diào)用它自己。然后假設(shè)print()對于所有k位數(shù)都能正常工作，任何k + 1位的數(shù)字n都可以通過它的前k位的數(shù)字和最低1位數(shù)字來表示。前k 位的數(shù)字恰好是[ n / 10], 歸納假設(shè)它能正常工作，而最低1位數(shù)字是[ n % 10]，因此該程序能夠正確的打印出任意k + 1位。于是根據(jù)歸納法^[1]，所有數(shù)字都能被正確打印出來。

由以上實(shí)例總結(jié)可以出一條遞歸的設(shè)計(jì)法則：假設(shè)所有遞歸調(diào)用都能運(yùn)行。

1.4、遞歸的合成效益法則

用遞歸實(shí)現(xiàn)一個(gè)斐波那契數(shù)列：

//斐波納契數(shù)列:1、1、2、3、5、8、13、21、34

int f(int n)

{

    if(n < 1)

    {

        return 0;

    }

    else if(n <= 2)

    {

        return 1;

    }

    return f(n-1) + f(n-2);

}

假設(shè)n = 8, 函數(shù)調(diào)用f(8), 遞歸調(diào)用如下圖：

由上圖我們不厭其煩的數(shù)一下：

n = 1時(shí)，f()調(diào)用1次；

n = 2時(shí)，f()調(diào)用1次；

n = 3時(shí)，f()調(diào)用3次；

n = 4時(shí)，f()調(diào)用5次；

n = 5時(shí)，f()調(diào)用9次；

n = 6時(shí)，f()調(diào)用15次；

n = 7時(shí)，f()調(diào)用25次；

n = 8時(shí)，f()調(diào)用41次；

增長的是不是太快了，在f()里加一個(gè)計(jì)數(shù)器測試一下，可以看到在n = 30 的時(shí)候，f()的調(diào)用次數(shù)大約在160萬。

究其原因，是因?yàn)槲覀冊谇蠼獾倪^程時(shí)，重復(fù)了大量的計(jì)算過程， 在n = 8 的時(shí)候單單是f(3)就重復(fù)調(diào)用了8次。

由上我們可以得出一個(gè)結(jié)論：在求解一個(gè)問題的同一實(shí)例時(shí)，在不同的遞歸中做重復(fù)性的工作，對資源的消耗可能是災(zāi)難性的。

最后歸納一下要牢記的遞歸四條基本法則：

1. 基準(zhǔn)情形。必須總有某些基準(zhǔn)情況，它無須遞歸就能求解，即遞歸必須有出口。
2. 不斷推進(jìn)。對于那些需要遞歸求解的情形，每一次遞歸調(diào)用都必須要使求解狀態(tài)朝基準(zhǔn)情形的方向推進(jìn)。
3. 設(shè)計(jì)法則。假設(shè)所有的遞歸調(diào)用都能運(yùn)行。
4. 合成效益法則。在求解一個(gè)問題的同一實(shí)例時(shí)，切勿在不同的遞歸中做重復(fù)性的工作。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的C/C++ 递归的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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