素數(shù)(prime number)，又稱質(zhì)數(shù)，有無限個。

定義：在大于1的自然數(shù)中，除了1和它本身以外不再有其他因數(shù)。

來介紹兩個簡單的性質(zhì)：

質(zhì)數(shù)的個數(shù)是無窮的。

歐幾里得的《幾何原本》曾有一經(jīng)典證明，用的是反證法。

當(dāng)然，還有其他證明，我們就不一一探討了，因?yàn)榇_實(shí)沒有這種方法來的簡單。

延伸一下，是不是所有的形如(p1*p2*……*pn)+1(其中p1，p2，...，pn均為素數(shù))的數(shù)就一定是素數(shù)呢？

答案是否定的(2*3*5*7*11*13+1=30031 不是素數(shù)，因?yàn)?0031=59*509)。

下一個性質(zhì)：

質(zhì)因數(shù)分解唯一定理：任一大于1的自然數(shù)，要么本身是質(zhì)數(shù)，要么可以分解為幾個質(zhì)數(shù)之積，且這種分解是唯一的。

同樣采用反證法來證明：

假設(shè)存在某些數(shù)，它們有至少兩種分解方法。那么一定有一個最小的數(shù)N，它能用至少兩種方法表示成質(zhì)數(shù)的乘積：

N = P1 * P2 * … * Pr = Q1 * Q2 * … * Qs

不妨設(shè)P1 <= P2 <= ... <= Pr； Q1 <= Q2 <= ... <= Qs。

顯然，P1≠Q(mào)1(不然兩邊同時約掉它，我們就得到一個更小的有兩種分解方法的數(shù))。

不妨設(shè)P1 < Q1，那么我們用P1替換掉等式最右邊中的Q1，得到一個比N更小的數(shù)

M = P1 * Q2 * Q3 * ... * Qs。

令N' = N-M，我們得到M'的兩種表達(dá)：

N' = (P1 * P2 * ... * Pr) - (P1 * Q2 * ... * Qs) = P1 * (P2 * .. * Pr - Q2 * ... * Qs) ……………… (1)

N' = (Q1 * Q2 * ... * Qs) - (P1 * Q2 * ... * Qs) = (Q1 - P1) * Q2 * ... * Qs ……………… (2)

由于M比N小，因此N'是正整數(shù)。

從(1)式中我們立即看到，P1是N'的一個質(zhì)因子。注意到N'比N小，因此它的質(zhì)因數(shù)分解方式應(yīng)該是唯一的，可知P1也應(yīng)該出現(xiàn)在表達(dá)式(2)中。既然P1比所有的Q都要小，因此它不可能恰好是(2)式中的某個Q，于是只可能被包含在因子(Q1-P1)里。但這就意味著，(Q1-P1)/P1除得整數(shù)，Q1/P1必須得是整數(shù)。我們立即看出，P1必須也是Q1的一個因子，這與Q1是質(zhì)數(shù)矛盾了。

這說明，我們最初的假設(shè)是錯誤的。

以上就是關(guān)于素數(shù)的兩個性質(zhì)的證明。希望能幫到您！

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的输入一个正整数求所有素数因子_一起来聊聊素数的两个性质的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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