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原文標(biāo)題：斐波那契數(shù)列趣談

via 善科

by BB

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一般認(rèn)為斐波那契數(shù)列的提出是基于兔子的繁殖問題：如果一開始有一對(duì)兔子，它們每月生育一對(duì)兔子，小兔在出生后一個(gè)月又開始生育且繁殖情況與最初的那對(duì)兔子一樣，那么一年后有多少對(duì)兔子？

答案是，每月兔子的總數(shù)可以用以下數(shù)列表示：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233…。

這一數(shù)列是意大利數(shù)論家列奧納多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）在他13世紀(jì)初的著作Liber Abaci中最早提出的。如果取數(shù)列前兩個(gè)元素為1，那么遞推關(guān)系就是：

當(dāng)然，曾經(jīng)有一度數(shù)學(xué)家們將0作為斐波那契數(shù)列的首項(xiàng)（或第0項(xiàng)）。

這一數(shù)列看起來相當(dāng)簡(jiǎn)單，但卻隱藏著一些有趣的東西。

關(guān)于數(shù)列元素

關(guān)于斐波那契數(shù)列的元素，人們發(fā)現(xiàn)了不少有意思的事情。

質(zhì)數(shù)與合數(shù)：斐波那契數(shù)列的質(zhì)數(shù)元素也是該數(shù)列的質(zhì)數(shù)項(xiàng)，唯一的例外是第4項(xiàng)元素3。但這個(gè)規(guī)律反過來不成立，數(shù)列的質(zhì)數(shù)項(xiàng)元素的也可能是合數(shù)。這一“規(guī)律”可以為人們提供搜索大質(zhì)數(shù)的線索。但在相當(dāng)大的元素以后是不是仍有這個(gè)規(guī)律呢？目前沒有人知道。

如果把用二進(jìn)制表示的斐波那契數(shù)列前511個(gè)元素繪制出來，是這個(gè)樣子的Wolfram Research）：

是不是有點(diǎn)分形的味道？

第

項(xiàng)：分別是2，21，209，2090，20899，208988，2089877，20898764…。（Sloane’s A068070）也就是說，這一數(shù)字不斷接近208987640249978733769…的前幾項(xiàng)。而208987640249978733769…和這樣一個(gè)數(shù)有關(guān)：

Binet公式：這個(gè)公式不是軌道力學(xué)里的那個(gè)常用的同名公式，而是給出斐波那契數(shù)列第n項(xiàng)的另一個(gè)公式，是Jacques Philippe Marie Binet在1843年發(fā)現(xiàn)的：

看到了什么？是不是括號(hào)中的兩個(gè)數(shù)似乎和黃金分割有關(guān)？

斐波那契數(shù)列與黃金分割

蘇格蘭人Robert Simson證明了，當(dāng)項(xiàng)數(shù)趨于無窮時(shí)，斐波那契數(shù)列的后項(xiàng)與前項(xiàng)之比趨近黃金分割，也就是1.61803398875…。這也許說明了斐波那契數(shù)列與黃金分割有天然的聯(lián)系。

如斐波那契螺旋就是最直接的例子。如果順逆時(shí)針螺旋的數(shù)目是斐波那契數(shù)列中相鄰的2項(xiàng)，可稱其為斐波那契螺旋，也被稱作黃金螺旋。這樣的螺旋能最佳利用圓周，疏密最為均勻。它的構(gòu)造方法也不難，只需先用同樣是與斐波那契數(shù)列有關(guān)的數(shù)構(gòu)造黃金矩型（長(zhǎng)寬之比為黃金分割），再在每個(gè)矩形中各描繪出一條1/4圓弧，讓各段弧彼此連接。這樣的黃金矩形也往往能一些藝術(shù)名作中找到，如達(dá)·芬奇著名的作品《蒙娜·麗莎》。

計(jì)算機(jī)繪制的斐波那契螺旋

斐波那契螺旋與黃金矩型

自然界中的斐波那契數(shù)列

最典型的例子就是以斐波那契螺旋方式排列的花序或樹葉。薊、菊花、向日葵、松果、菠蘿……都是按這種方式生長(zhǎng)的。如此的原因很簡(jiǎn)單：這樣的布局能使植物的生長(zhǎng)疏密得當(dāng)、最充分地利用陽(yáng)光和空氣，所以很多植物都在億萬(wàn)年的進(jìn)化過程中演變成了如今的模樣。當(dāng)然受氣候或病蟲害的影響，真實(shí)的植物往往沒有完美的斐波那契螺旋。

每層樹枝的數(shù)目也往往構(gòu)成斐波那契數(shù)列。

曾在網(wǎng)上看到下面這樣一組圖，說的是花瓣數(shù)符合斐波那契數(shù)列各元素的各種植物，也許僅僅是巧合？

另外，晶體的結(jié)構(gòu)也往往與斐波那契數(shù)列有關(guān)。人們?cè)缇桶l(fā)現(xiàn)，在自然界的晶體中，原子以重復(fù)的樣式排列，不同的化合物也許會(huì)出現(xiàn)不同的排列方式，但都是簡(jiǎn)單的平移重復(fù)而已。下面是幾張來自晶體中的圖案模型。

在圖a中，我們可以看到每個(gè)原子被其他三個(gè)相同的原子包圍，形成了一個(gè)單位樣式，這稱為三重對(duì)稱，因?yàn)槿绻哑渲兄谎刂矫孓D(zhuǎn)過120度，將與另一個(gè)發(fā)生重疊。而在四重對(duì)稱（圖b）中，轉(zhuǎn)過90度后可得相同圖形，在六重對(duì)稱（圖c）中，轉(zhuǎn)過60度可得相同圖形。

但無論如何，五重對(duì)稱（圖d）卻不可能得到，因?yàn)槠渲性娱g的距離長(zhǎng)短不一，這個(gè)樣式無法實(shí)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱，由此很容易就充分證明了在晶體中找不到五重對(duì)稱，依此，七重對(duì)稱或者更高重的對(duì)稱都是找不到的。

所以，早期晶體學(xué)家們都根深蒂固地認(rèn)為，五重或七重以上的對(duì)稱不符合自然規(guī)律。

然而，1982年4月的那個(gè)早晨，以色列理工學(xué)院的Daniel Shechtman卻發(fā)現(xiàn)在他電子顯微鏡下面，一個(gè)衍射圖案可以安然轉(zhuǎn)過圓周的1/10（也就是36度）依舊得到原來樣式，也就是說，發(fā)現(xiàn)了十重對(duì)稱！

很快，他又從鋁錳合金中找到了五重對(duì)稱的圖案。在那個(gè)時(shí)期，這項(xiàng)工作絕對(duì)是顛覆性的了，以至于相關(guān)論文1984年夏天被Journal of Applied Physics斷然拒掉。還好，Physical Review Letters沒做同樣的武斷之事，隨后就發(fā)表了他的文章。Shechtman發(fā)現(xiàn)的固體形態(tài)被命名為準(zhǔn)晶（quasicrystal），以示與傳統(tǒng)晶體的區(qū)別，并被認(rèn)為是介于晶體和非晶體之間的一種形態(tài)。

Daniel Shechtman獲得了2011年的諾貝爾化學(xué)獎(jiǎng)

著名應(yīng)用數(shù)學(xué)家Roger Penrose爵士

事實(shí)上，無獨(dú)有偶，同一時(shí)期的數(shù)學(xué)家們已為他做好了理論鋪墊，英國(guó)人彭羅斯（Roger Penrose）差不多同一時(shí)期便在前人工作基礎(chǔ)上提出了一種以兩種形狀的拼圖鋪滿平面的解決方案。對(duì)于Shechtman的準(zhǔn)晶體衍射圖案和彭羅斯的鑲嵌瓷磚來說，都有一個(gè)迷人的性質(zhì)，就是在它們的形態(tài)中隱藏著美妙的數(shù)學(xué)常數(shù)τ，亦即黃金分割數(shù)1.618……。

彭羅斯瓷磚以一胖一瘦兩種菱形（內(nèi)角分別為72度、108度和36度、144度）鑲拼而成，兩種菱形的數(shù)量之比正好是τ；同樣的，在準(zhǔn)晶中，原子之間的距離之比也往往趨近于這個(gè)值。

往期內(nèi)容回顧：

內(nèi)褲簡(jiǎn)史

一名代孕者的自白

他是個(gè)孩子，但也是一個(gè)殺人犯！

譯言給你的禮物

斐波拉契從一對(duì)兔子的繁殖開始，推論出了“兔子數(shù)列”亦即斐波拉契數(shù)列。由此遞推數(shù)列，我們可以發(fā)現(xiàn)養(yǎng)一對(duì)兔子，一年之后就會(huì)發(fā)展壯大成一個(gè)養(yǎng)兔場(chǎng)。人們從斐波拉契數(shù)列出發(fā)得到了很多有益的和有趣的結(jié)果。比如斐波拉契數(shù)列與黃金分割（0.618）的關(guān)系，并且直到現(xiàn)在還在優(yōu)選法和運(yùn)輸調(diào)度理論中起著基本原理的作用；又如種向日葵的農(nóng)場(chǎng)主在葵花籽的分布規(guī)律上發(fā)現(xiàn)了斐波拉契數(shù)列，乃至好多植物的花瓣葉序上發(fā)現(xiàn)的斐波拉契數(shù)列奇觀形成了至今未解的“葉序之迷”。可見一個(gè)“養(yǎng)兔問題”竟揭示了大自然的一個(gè)普遍存在的奧秘。想要了解斐波拉契與兔子繁殖這一數(shù)學(xué)問題的歷史，歡迎閱讀《斐波那契的兔子：現(xiàn)代數(shù)學(xué)之父與算術(shù)革命》探尋斐波拉契其人及“兔子數(shù)列”的奧秘。

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的python斐波那契数列前20项_兔子繁殖问题带来的智商碾压：斐波那契数列趣谈的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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