人們是如何預報天氣的？目前的預報方法主要有兩種：一種是基于由各種探測資料繪制的天氣圖，結合歷史資料進行分析預測；另一種是基于大氣方程組，利用數值解法對其進行求解，從而得到未來時刻的大氣狀態。

后者就是我們《數值天氣預報》所要研究的內容了。

先來看一個最基本的大氣運動方程組：

它適用于干空氣或未飽和濕空氣（即不發生水汽凝結過程的大氣）。其中第一個式子是根據牛頓第二定律得到的運動方程。第二個式子是根據質量守恒定律得到的連續方程。第三個式子是根據能量守恒定律得到的熱力學方程。第四個式子就是我們高中就學過的理想氣體狀態方程。

這是一個有6個因變量（

）的閉合方程組。為什么有6個變量，只有四個方程，就是一個閉合方程組了呢？根本原因在于，第一個方程（運動方程）是一個矢量方程，將矢量沿三個方向展開后，可以得到三個方向的運動方程。這樣一來，上面的方程組實質上就由六個方程組成。

我們都知道矢量的展開結果，與選取的基向量（或選取的坐標系）有關。在這篇文章中，我們要介紹的是基本方程組在球坐標系中的形式。

所謂球坐標系，有點像三維的極坐標系。它的基本原理是用經度

、緯度 和向徑 描述某點P在坐標系中的位置。與之相對應的，我們選取的標架 分別是與緯圈相切指向東、與經圈相切指向北、垂直于地表指向天頂的單位向量。

球坐標系示意圖

這樣，速度矢量

可以被我們分解到 三個方向：

于是運動方程等號左端的加速度項可以被寫成：

如果是在笛卡爾坐標系中，結果的后三項是等于0的，也就是我們之前經常見過的形式：

。因為在笛卡爾坐標系中，標架 是始終固定不動的，有 。而在球坐標系中，很明顯， 會隨著點P位置的變化而變化，因而后三項不能被省略。

那么現在我們需要考慮一個新的問題：

怎么表示？

以

為例，根據個別變化與局地變化的關系有：

在某個確定的位置，

是不隨時間變化的，而且 只存在于x方向，因此有 。

于是有

。這樣，我們就把 與 在x方向上的局地導數聯系起來了，問題的關鍵變成了求 。我們知道，矢量的導數還是矢量。因此我們不妨分別求 的大小和方向。

先來看它的大小:

讓

變化一個很小的角度 ，當轉過的弧線足夠短時，可以近似把等腰三角形的底邊長度等價于弧線長度 。設此時 的變化量是 。其中 。

沿緯圈平面剖面圖

那么

。可以發現，圖中的紅色三角形和藍色三角形都是等腰三角形，而且他們的頂角是相等的。因此這兩個三角形相似，有兩底邊長之比等于兩腰長之比，即 。考慮到 是單位向量，有

這樣一來，我們就求出了

的大小。下面來看一下它的方向：

從上面的示意圖難看出，

的方向是平行于緯圈平面，且指向地軸的。如果再做一個沿經圈平面的剖面圖，可以發現 的方向可以用向量 來表示，而這個向量恰好又是一個單位向量。

沿經圈平面剖面圖

在求出

的大小和方向后，我們就可以完整表示 了：

同理，我們可以得到

：

有了這些,方程等號左端在球坐標系中的展開就完成了：

方程右端大部分項的展開都是容易的。如重力

；摩擦力 ；地轉偏向力= 。其中 。

但唯獨氣壓梯度力項

比較特殊。我們之前了解過，哈密頓算子 在直角坐標系中的形式是 。但是在球坐標系中，我們希望用 來代替式中的 。下面我們來推導一下球坐標系中的哈密頓算子。

先來思考一下直角坐標系中哈密頓算子每一項的物理意義。

中， 表示的是“物理量 在 方向上的變化率”。基于這個原理，回到球坐標系中，用 分別表示沿 方向的一段微小位移，那么有

下一步就是找

與 的關系了。觀察一開始的球坐標系示意圖不難發現：

于是

這樣，我們就得到了 球坐標系下的哈密頓算子。從而氣壓梯度力項可以被展開為

。

至此，我們就已經完成了文章開頭提到的“第一個方程（運動方程）是一個矢量方程，將矢量沿三個方向展開后，可以得到三個方向的運動方程”，即

三個方向各一個方程：

我罷工！！！這個公式手動完怕是我人都沒了

當然，大氣運動方程組里的其他方程也可以轉化成球坐標系中的形式，這里就不說了。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的matlab中欠定方程组超定方程组_《数值天气预报》：球坐标系中的基本方程组的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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