《實變函數》作業
一．判斷題
1． 可測的充要條件是可測。 （ ）
2．所有無理數構成的集合是可數集。 （ ）
3．如果在上單調減少，則在上可測。 （ ）
4．直線上任意非空開集均可表示為至多可數個兩兩不交的開區間的并。 （ ）
5．若是不可數集，則 。 （ ）
6．若函數在上黎曼可積，則至多有可數個間斷點。 ( )
7．可數集合的任意并是可數集合。 （ ）
8．中既開且閉的集只有空集與。 （ ）
9．如果函數是上的單調函數，則在上是黎曼可積。 （ ）
10.若，則是可測集。 （ ）
11.定義上的狄利克雷函數

在上幾乎處處連續。 （ ）
12.集合上的常值函數必可積。 （ ）
13、區間[0，1]是一個可數集合。 （ ）
14、有界可測集合上的連續函數一定是可測函數。 （ ）
15、Rieman可積函數一定是Lebegus可積函數。 （ ）
16、[0，1]上的無理數是一個可數集合。 （ ）
17、有界可測集合上的連續函數一定是可測函數。 （ ）
18、有界區間上Rieman可積函數一定是Lebegus可積函數。 （ ）
19、設是一個無限集合，則至少有一個聚點。 （ ）
20、如果在上幾乎處處收斂于，則在上。 （ ）
21． （ ）
22．若至少有一個內點，則。 （ ）
23．在一切集合的基數中，是最大的基數。 （ ）
24．若是可測集，則的任一子集均可測。 （ ）
25、設，則的特征函數是可測函數的充要條件是為可測集。 （ ）
26、單調函數的不連續點之集是至多可數集。 （ ）

二．
1．證明：
2．試找出使和之間一一對應的一種方法。
3試列出使集合和一一對應的方法。
4證明：
5、證明
6、證明：可數點集是Lebesgue 可測集，并求其測度。
7、證明：
8．證明：
9. 作出一個和的一一對應，并寫出這個一一對應的解析表達式。
10. 證明：由直線上互不相交的開區間作為集的元素，則至多為可數集。

三．證明題

設是上幾乎處處有限的可測函數列，，而幾乎處處收斂于有限函數，則對任意的，存在常數與可測集，，使在上，對一切，有。

設是上的實值連續函數，證明：，集合是閉集。

設在可積，則對任何，必存在上的連續函數，使得
.

設在上，且幾乎處處于上成立， 試證在上幾乎處處成立。

設是的個可測子集，假定中的任一點至少屬于這個集合中的個，證明：必有一個集，它的測度不小于。
6.設在Cantor集上定義函數，而在的余集中長為的構成區間上定義。試證在上可積，并求出積分值。

設在上，且幾乎處處成立， 則幾乎處處有收斂于。

試從，，證明.

證明：

設，在上可積。如果對于任何有界可測函數，都有

證明：在上幾乎處處成立。
11. 設為上非負可積函數列，若

證明：。
12. 證明：
。
13．設是直線上的一個有界集合，，則對任意小于的正數，存在的子集，使得
14設為全集，證明：
15設是上的實值連續函數，證明對任意的常數，集合

是一個閉集。
16設是一些互不交的可測集，，證明：

17設是上的實值連續函數，證明對任意的常數，集合

是一個開集。

18、設是上的實值連續函數，證明：，集合是開集。
19、證明：可數點集的外測度為零。
20. 證明：由直線上互不相交的開區間作為集的元素，則至多為可數集。
21、設是直線上的一個有界集合，，則對任意小于的正數，存在的子集，使得
22、設是上的實值連續函數，證明：，集合是閉集。
23、設是上的連續函數，是上的可測函數，證明：是可測函數。

總結

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