1 空間點過程與隨機測度（一）：從數(shù)星星說起

1.1 數(shù)星星的數(shù)學(xué)

小時候，在晴朗的夜里，我喜歡仰望星空，去數(shù)天上的星星——那是無憂無慮的快樂童年。長大后，當(dāng)我們再度仰望蒼穹，也許會思考一個不一樣的問題：這點點繁星的分布是不是遵循什么數(shù)學(xué)規(guī)律呢？這個問題也許問得太不解風(fēng)情了。但是，在這篇文章里，我希望向大家表達的是，這個問題會把我們帶入一個比星空更為美麗的數(shù)學(xué)的世界。

探討這個問題，不需要什么高深的方法。還是和我們小時候一樣，我們從“數(shù)星星”做起。相比于整個夜空，每個星星是在太小太小了，所以，我們可以做一個簡化的設(shè)定：把每顆星星看成是一個點——一個沒有大小的點——在我們的討論中，我們只關(guān)心星星的位置和數(shù)目，不關(guān)心它的大小和形狀，更不會關(guān)心那上面也許存在的外星人。（在之后的連載中，還會討論這些星星的重量，以及它們在歷史長河中的產(chǎn)生，運動，和消亡。）

我們開始數(shù)星星。為了方便，我們把整個星空分成不相交的區(qū)域，然后分區(qū)數(shù)數(shù)。在上面這個圖里面，我畫出了兩個區(qū)域：A 和 B。N(A)和N(B)分別表示，這兩個區(qū)域里面的星星的個數(shù)。我們可以看到，星星的分布可能是不均勻的，有些地方稀疏一些，另外一些地方稠密一些。所以，雖然A和B的面積差不多，但是，里面包含的星星數(shù)目卻相差好多倍。

由于各種各樣的原因，我們每天看到的星空中星星的分布可能都在變化。即使同一個區(qū)域，里面包含的星星數(shù)目也可能是不確定的——這就是概率理論能發(fā)揮作用的時候了。對于每個給定的區(qū)域，我們認為里面的星星數(shù)目是個隨機變量，比如上面所說的N(A)和N(B)。為了我們的討論能夠繼續(xù)進行，需要做出一些簡化假設(shè)。在這里，我們的假設(shè)很簡單：

對于任意兩個不相交的區(qū)域A和B，N(A)和N(B)是獨立的。

兩顆星星幾乎肯定不會出現(xiàn)在同一個點上。

對于這兩個假設(shè)，我需要做些說明。首先，請大家注意，除了說他們獨立之外，我沒有對N(A)和N(B)的分布形式作出任何假設(shè)——后面，我們會看到，為什么不需要假定它們是什么分布。另外，在第二個假設(shè)中“幾乎肯定”(almost surely)這個術(shù)語在數(shù)學(xué)上是有嚴格定義的，某個事情“幾乎肯定”會發(fā)生，表示，它們發(fā)生的概率是 1。

了解現(xiàn)代概率理論的朋友對于almost surely想必是司空見慣了。為了讓對這個術(shù)語不太熟悉的朋友不產(chǎn)生誤解，我還是在這里澄清一下。“幾乎肯定發(fā)生”和“必然發(fā)生”在數(shù)學(xué)上是有所區(qū)別的。舉個例子，我們在從 [0, 2] 這個區(qū)間的均勻分布中隨便抽一個數(shù) a，那么 a 剛剛好等于 1 的概率是多少呢？——是 0。所以，我們可以說，a “幾乎肯定”不剛好等于 1。但是，我們不能說 a 必然不等于 1。

1.2 空間點過程

好了，繼續(xù)回到我們的主題。

這個數(shù)星星的例子代表了一類非常廣泛的隨機過程——空間點過程(Point Processes)。具體來說，什么叫做一個空間點過程呢？我們知道，對于一個（實數(shù)值）隨機變量，每次抽樣（或者試驗），得到的是一個實數(shù)；對于一個隨機向量，每次從分布里面抽取的是一個向量。那么，一個空間點過程，每次抽樣得到是在某個空間中的一個離散點集（里面有有限個或者可數(shù)無限個點）。在數(shù)星星的例子里面，這個空間就是“星空”了。一般來說，這個空間可以是任意的，比如實數(shù)集，二維空間，三維空間，曲面，甚至是無限維的函數(shù)空間。

最基本的空間點過程，叫做空間泊松過程(Spatial Poisson Process)——一個空間點過程，如果在不相交的區(qū)域中的計數(shù)是相互獨立的，那么這個空間點過程就叫空間泊松過程。雖然，我們沒有對N(A)的分布形式作出具體的設(shè)定。但是，僅僅憑著不相交區(qū)域內(nèi)計數(shù)的獨立性，我們就可以得到一個重要的結(jié)論：

對于任意的區(qū)域 A，在A里面的點的數(shù)目 N(A) 服從泊松分布（Poisson Distribution）。

這里說“任意區(qū)域”其實是不太嚴格的——在正式的數(shù)學(xué)定理中，泊松過程所基于的空間必須是一個測度空間(measure space)，這里的區(qū)域A，必須是一個可測集(measurable set)。不熟悉測度理論的朋友可以不妨?xí)呵艺J為這個區(qū)域是任意的吧——因為，在實際常見的幾乎所有幾何空間里，你能想象出來的集合都是可測集，而不可測的集合只存在于數(shù)學(xué)家的奇怪構(gòu)造中。

為什么我們要討論空間泊松過程呢？它究竟有什么用呢？在我非常有限的知識范圍里，我覺得它起碼有兩個非常重要的意義：

在我們所生活的大千世界里，無數(shù)的自然現(xiàn)象和科學(xué)觀測都可以很好地用空間泊松過程來建模和分析。除了天上的星星之外，還有很多很多：天上飛的鳥，水里游的魚，街上走的人，空氣中的分子，放射過程產(chǎn)生的粒子，桌上的灰塵，很多儀器產(chǎn)生的圖像中的黑白噪點。。。。。。

泊松過程是構(gòu)造很多別的過程的理論根基所在。了解Machine Learning的朋友應(yīng)該知道近幾年，對非參數(shù)化貝葉斯(Non-parametric Bayesian)的研究熱火朝天——其中很重要的一種過程叫做狄里克萊過程(Dirichlet Processes)。對于狄里克萊過程，大家耳熟能詳?shù)囊苍S是Chinese Restaurant Process，又或者是Stick Breaking。可是，您是否知道，狄里克萊過程的理論根源卻是源于空間泊松過程？關(guān)于這兩種過程的聯(lián)系，是隨機測度理論的一個非常美妙的結(jié)果。這我們會留在以后的連載中繼續(xù)探討。

對于泊松過程，我相信很多朋友不是今天才第一次聽說的了。因為，它是很多初級隨機過程課程所講授的內(nèi)容之一。在初級教科書里面，泊松過程是一個定義在時間上的過程。

時間上的泊松過程用于描述隨機到達，比如來排隊的人，或者路過的車子。上面這個圖回顧了時間上的泊松過程的一些基本的性質(zhì)：

不相交的時間段上到來的數(shù)量是相互獨立的；

兩個點幾乎肯定不會同時到達；

在某個給定的時間段到達的數(shù)量服從泊松分布，分布均值正比于時間段的長度。

大部分初級教科書以性質(zhì)1和3來定義時間上的泊松過程。我們比較一下這些假設(shè)和空間泊松過程的假設(shè)，就可以看出來，時間上的泊松過程其實是一般的空間泊松過程的特列。這里，泊松過程所基于的空間就是“時間軸”。其實，這里面的性質(zhì)3，對于定義一個泊松過程不是必須的，泊松分布這種分布形式，其實是滿足性質(zhì)1的必然結(jié)果。至于分布均值正比于時間段的長度，僅僅適用于均勻的泊松過程。對于一般的泊松過程，很可能在某些時間來得密集一些，另外一些時間稀疏一些，這時候分布均值就不一定正比于時間段長度了。

上面關(guān)于時間點過程的回顧，僅僅是為了說明這篇文章所講述的內(nèi)容其實是大家在隨機過程課中所學(xué)的泊松過程的推廣。在下面的討論中，我們還是回到一般的空間泊松過程。

1.3 計數(shù)獨立和泊松分布

看到這里，我想大家也許會有疑問？為什么不相交區(qū)域的計數(shù)獨立，就必然會導(dǎo)致任意給定區(qū)域內(nèi)的計數(shù)服從泊松分布呢？作為一篇博客文章，我不可能在這里進行一個嚴格的證明。但是，我會嘗試從更直觀的角度來解釋這個結(jié)論是怎么來的。這里的背后正隱含了獨立計數(shù)和泊松分布之間的深刻聯(lián)系。

為了考察這個問題，我們首先對整個空間進行細分，把它分成很多很小的不相交的小格子。

因為每個格子很小，因此對于每個具體的格子，它里面包含點的概率是很低的，而包含不止一個點的概率就更是低到幾乎可以忽略了。因此，每個區(qū)域中點的數(shù)量，大概等于包含點的格子的數(shù)量——這樣，我們把數(shù)點變成了數(shù)格子。

假設(shè)區(qū)域A包含M個格子，它們包含點的概率分別是$p_1$, $p_2$, …, $p_M$。如果我們用$X_i$表示在第 i 個格子是否存在點，那么 $X_i$ 是一個成功概率為$p_i$的伯努利試驗。因而，包含點的格子的總數(shù)可以表示為 $X_1+X_2+\dots +X_M$。因為這些格子不相交，根據(jù)不相交區(qū)域的獨立性假設(shè)，$X_1,X_2,\dots ,X_M$ 是相互獨立的。在這種條件下，它們的和有一個重要的結(jié)論：

對于M個獨立伯努利試驗$X_1,X_2,\dots ,X_M$，成功概率分別為$p_1,p_2,\dots ,p_M$，當(dāng)每個$p_i$都很小，它們的總和是個常數(shù)C，那么 $X_1+X_2+\dots +X_M$ 近似服從以C為均值的泊松分布。當(dāng)M趨近于無窮大，每個$p_i$分別趨近于0，并且總和保持為C，那么在極限條件下，$X_1+X_2+\dots$，嚴格服從以C為均值的泊松分布。（熟悉概率理論的朋友應(yīng)該知道，這樣的描述其實是指“按分布收斂”。）

所以，當(dāng)我們對空間進行無限細分，在極限條件下，會發(fā)生下面的事情：

每個格子的大小趨近于零，因而里面包含點的概率趨近于零；

同時，某個固定區(qū)域內(nèi)的格子數(shù)目趨近于無窮大；

一個格子內(nèi)幾乎肯定不會出現(xiàn)兩個點，因此某個區(qū)域內(nèi)的點數(shù)幾乎相等于區(qū)域內(nèi)的包含點的格子數(shù)；

在這個過程中，某個區(qū)域內(nèi)，所有格子的含點概率的總和維持為一個常數(shù)，我們稱之為C。

這些觀察合在一起可以得到這樣的結(jié)論：這個區(qū)域內(nèi)的點數(shù)，服從以C為均值的泊松分布。如果您熟悉測度理論和依分布收斂的內(nèi)容，要根據(jù)這個思路寫出一個嚴格的證明其實并不困難。

在上面，我們通過獨立性假設(shè)，建立的泊松過程。其實，泊松過程還可以從另外一個方面去刻畫。我們知道，對于某個具體的區(qū)域，它里面的點數(shù)服從泊松分布（假設(shè)均值為C)。根據(jù)泊松分布的公式，在這個區(qū)域為空的概率（點數(shù)為零）是 $exp(?C)$。這似乎只是一個簡單的性質(zhì)，但是請不要小看它——就這個小小的性質(zhì)本身（不需要附加獨立性假定），就足以定義泊松過程：

一個空間點過程，如果區(qū)域為空的概率隨區(qū)域的大小（測度）以指數(shù)衰減，那么這個過程是一個空間泊松過程。

對于這個事情，它的嚴格證明需要使用Characteristic function的有關(guān)理論。但是，盡管不太嚴格，我們還是可以通過直觀的觀察對這個結(jié)論的原理有所感覺。假定，一個區(qū)域的大小（測度）為C，那么如果把它分成很多小格子，每個格子大小（測度）是$C_1,\dots ,C_M$。那么，顯然$C=C_1+\dots +C_M$。因此，這個區(qū)域為空的概率有

$exp(?C)=exp(?(C_1+\dots +C_M))=exp(?C_1)exp(?C_2)\dots exp(?C_M)$

注意，$exp(?C_i)$ 正是第 i 個細分的小格為空的概率。如果一個概率能夠按照乘積分解，其實已經(jīng)在某種意義上預(yù)示了，每個格子是否為空其實是各自獨立的，也就是說每個格子是否包含點也是各自獨立的——這正好吻合了前面我們對泊松過程的構(gòu)造。

所以，一方面，計數(shù)的獨立性必然導(dǎo)出泊松分布；反過來，泊松分布其也蘊含了獨立計數(shù)的內(nèi)在性質(zhì)。它們是一對孿生兄弟，誰也離不開誰。

這讓我們回憶起概率論中非常著名的“中央極限定理”：大量的獨立隨機變量的和依分布收斂于高斯分布。（我們上面說的是：大量的獨立伯努利試驗的和依分布收斂于泊松分布）。如果說，中央極限定理奠定了高斯分布（正態(tài)分布）在概率論中的核心地位；那么在空間點過程這個領(lǐng)域，上述的關(guān)于獨立計數(shù)和泊松分布的關(guān)系，則奠定了泊松分布在空間點過程理論中的核心地位。

很多的其它重要的隨機過程，包括Cox過程，Gamma過程，以及Dirichlet過程，都是以泊松過程為基礎(chǔ)的。在后面的文章中，還會進一步討論我們?nèi)绾螐牟此蛇^程出發(fā)構(gòu)造其它過程，特別是“完全隨機測度”(Completely Random Measure)，而統(tǒng)計建模中被廣泛采用的Gamma過程和Dirichlet過程，則是這種構(gòu)造的一個重要的例子。

空間點過程與隨機測度（二）：測度的故事

既然這個Topic的題目是關(guān)于隨機測度，那么，自然是離不開“測度”(measure)這個概念的。所以在這篇文章里，我們要說一說測度。也許，在很多朋友的眼中，“測度”是一個特別理論的概念——似乎只有研究數(shù)學(xué)的人才應(yīng)該關(guān)心它。這也許和大學(xué)的課程設(shè)計有關(guān)系，因為這個概念一般是在研究生的數(shù)學(xué)課程才會開始講授，比如“實分析”或者“現(xiàn)代概率理論”。而且，在大多數(shù)教科書里面，它的第一次出場就已經(jīng)帶著厚厚的面紗——在我看過的大部分教材里面，它總是定義在$\sigma$代數(shù)之上，而$\sigma$代數(shù)聽上去似乎是一個很玄乎的名詞。

2.1 測度，其實很簡單

在這里，我只是想撥開測度的神秘面紗——其實，測度是一個非常簡單的事情：理解它，只需要小學(xué)生的知識，而不是研究生。

還是回到我們數(shù)星星的例子。

在這個例子里面，我們定義了一“數(shù)星星”函數(shù)，用符號N表示。這個函數(shù)的輸入是一個集合（比如A和B），輸出是一個數(shù)字——該集合中所包含的“星星”的數(shù)目。我們看看，這個函數(shù)有什么特點。首先，它是非負的，也就是說不可能在一個區(qū)域中含有“負數(shù)”個星星。其次，它有“可加性”。這是什么意思呢？

比如說，在上面兩個不相交的區(qū)域A和B里面，各自包含了5個和44個點。那么在A和B的并集總共包含了49個點。換言之，$N(AUB)=N(A)+N(B)$。

嚴格一點的說，如果一個“集合函數(shù)”，或者說一個從集合到非負實數(shù)的映射，如果它在有限個不相交集合的并集上取的值，等于它在這些集合上分別取的值的和，那么我們就認為這個函數(shù)具有“可加性”。更進一步的，如果它在可數(shù)無限個不相交集合的并集上符合這樣的可加性，那么我們就說，它是“可數(shù)可加”(Countably additive)。

一個非負“集合函數(shù)”，如果對空集取值為0，并且在“一系列集合上”具有可列可加性，那么這個“集合函數(shù)”就叫做一個“測度”(Measure)。作為例子，上面的“數(shù)星星”函數(shù)就是定義在所有二維空間子集上的一個測度。同樣的，我們可以舉出，很多具體的“測度”的例子，比如：

各個區(qū)域內(nèi)的所有星星的總質(zhì)量

各個區(qū)域的面積大小

2.2 不可測集和分球悖論

不過，在某些條件下，測度并不能定義在全部子集上。說通俗點，就是對其中一些集合，我們不可能定義出它的測度。比如說，在二維平面，我們可以按照一般的理解定義面積函數(shù)，比如長和寬分別為a和b的長方形面積為ab。對于復(fù)雜一點的形狀，我們可以通過積分來計算面積。但是，是不是所有的二維平面的子集都存在一個“面積”呢？正確的答案顯得有點“違背常識”：在承認選擇公理(Axiom of Choice)正確的情況下，確實有一些集合沒法定義出面積。或者說，無論我們在這些集合上定義面積為多少，都會導(dǎo)致自相矛盾的結(jié)果。

這里要注意的是，“沒法定義面積”和“面積為零”是兩回事。比如，在二維集合上的單個離散點或者直線，面積都是零。而那些“沒法定義面積”的子集——我們稱之為“不可測集”都是一些非常非常奇怪的集合——對于這些集合，我們把它的面積定義為零，或者別的什么非零的數(shù)，都會導(dǎo)致自相矛盾。這樣的集合是數(shù)學(xué)家們用特殊的巧妙方法構(gòu)造出來的——在實際生活中大家是肯定不會碰到的。這樣的構(gòu)造并不困難，但是很巧妙。有興趣的朋友可以在幾乎每本講測度論的教科書中找到這種構(gòu)造，這里就不詳細說了。

（注：上圖不是我制作的，而是出自http://www.daviddarling.info/）

關(guān)于不可測 集，有一個很著名的“悖論”，叫做“巴拿赫-塔斯基分球悖論”(Banach-Tarski Paradox)。如果說，某些奇怪的集合不能定義出面積還能讓很多人勉強接受的話，那么“塔斯基分球”可能會讓很多人“簡直無法接受”——包括在上世紀二三十年代的很多著名數(shù)學(xué)家。這個“怪論”是這么說的：

我們可以把一個三維的半徑為1的實心球用某種巧妙方法分成五等分——五等分的意思是，把其中一份旋轉(zhuǎn)平移后可以和另外一份重合——然后把這五個分塊旋轉(zhuǎn)平移后，可以組合成兩個半徑為1的實心球。簡單的說，一個球分割重組后變成了兩個同樣大小的球！

當(dāng)然了，這樣的過程還可以繼續(xù)下去，兩個變四個，四個變八個。。。。。。有人說，這顯然不正確吧，然后他這么Argue：

如果一個實心球體積為V（因為球的半徑是1，所以V > 0），那么五個等分塊，每塊體積為V/5，平移旋轉(zhuǎn)不改變體積，所以，無論它們?nèi)绾谓M合，最后得到的東西總體積是V，而不可能是2V。

但是，這樣的說法在傳統(tǒng)意義下確實沒錯——你拿去中學(xué)老師那里，肯定會被稱贊是一個善于思考的好孩子。但是，我在更廣義的條件下考察，就有問題了。因為，這個論述是基于這么一個假設(shè)：每一個分塊都是有“體積”的。而塔斯基分球的精妙之處就在于它把球分成了五個“不可測集”——也就是五個“無法定義體積”的奇怪分塊。所以，這里我們說“五等分”只是說它們其中一塊平移旋轉(zhuǎn)后能重合到另一塊上，并不是說它們“體積相等”——因為根本就沒有體積，也就沒有相等之說。

這個分球術(shù)可以通過抽象代數(shù)里面對于自由群的分解來實現(xiàn)。對于塔斯基分球有興趣的朋友，可以參考Leonard M. Wapner的數(shù)學(xué)讀本The Pea and the sun: a mathematical paradox。

細心的朋友可能注意到了，不可測集的構(gòu)造也好，塔斯基分球也好，都是基于對“選擇公理”(Axiom of Choice)的承認。如果我們不承認它，不就沒事了么？在我們拒絕承認“選擇公理”之前，我們首先要知道“選擇公理”究竟是什么東西。通俗一點的說，選擇公理可以這么描述：

任意一組（可能有不可數(shù)無限個）非空集合，我們都可以從每個集合挑出一個元素。

看上去非常“無辜”啊——這不就是典型的“正確的廢話”么——所以它被叫做“公理”。可是就是這么一個公理，卻是魔力驚人，能讓我們把實心球一個變倆。這就是數(shù)學(xué)的魅力！

在歷史上，巴拿赫和塔斯基提出分球悖論的年代，正是數(shù)學(xué)家們對選擇公理的存廢進行激烈爭論的年代。數(shù)學(xué)家們分成兩派，一派支持“選擇公理”，另外一派則反對它。而巴拿赫和塔斯基這兩位數(shù)學(xué)天才在當(dāng)時原是反對接受選擇公理，所以它們煞費苦心找到這個分球方法，目的就是以這種令人難以接受的“荒謬現(xiàn)象”來否定選擇公理。而在后來的發(fā)展中，大部分數(shù)學(xué)家還是認識到選擇公理對于現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展的重要意義（比如，泛函分析中的核心定理——Hahn Banach延拓定理就依賴于對選擇公理的承認），而選擇接受它，當(dāng)然塔斯基分球這種“怪現(xiàn)象”也被接受了。現(xiàn)在，“巴拿赫-塔斯基分球悖論”又被稱為“巴拿赫-塔斯基分球定理”——從悖論變成定理了。

數(shù)學(xué)就是這樣一個奇妙的世界。它往往基于我們的生活常識建立起來，但是一旦建立起來就要遵循它本身的發(fā)展規(guī)律，哪怕它有時候違反“常識”——人們能直觀認知的常識是有限的，而數(shù)學(xué)的威力能把我們帶到常識所不能觸及的地方。

2.3 測度與集合的代數(shù)結(jié)構(gòu)

測度和集合的運算是密切相關(guān)的。根據(jù)測度的定義，如果A和B是兩個不相交的集合，如果A和B的測度被確定之后，它們的并集的測度也就確定了，就等于它們各自測度的和。如果B是A的子集，那么如果它們的測度測定，那么它們的差集A – B的測度也就確定了，等于A和B的測度的差。所以，當(dāng)我們要定義一個測度的時候，其實往往不需要對所有的集合都作出定義，只要對一部分集合定義好了，其它集合的測度也就確定了。

我們說了不相交集合的并集，以及差集，那么對于一般的并集呢？如果A和B是兩個可能相交的集合。那么它們的并集A U B可以分成三個不相交的部分：A – C, B – C，以及C三個部分，這里C是A和B的交集。只要知道交集C的測度，根據(jù)不相交并集和差集的測度公式，我們就可以知道A – C, B – C，以及A U B的測度。可是僅僅知道 A 和 B的測度，它們的交集的測度是顯然不能確定的——兩個即使是同樣大小的集合，可能相交很多，甚至重合，也可能不相交。

所以，要有效定義一個測度，我們首先需要確定它在一系列集合以及它們的所有交集上的值。這樣，這些集合的所有并集和差集的測度也就給定了。數(shù)學(xué)家把這種觀察歸納成一種代數(shù)結(jié)構(gòu)——集合上的Semiring——注意這和抽象代數(shù)里面的semiring不是一回事。S是一組集合，如果S中任意兩個集合的交集仍在S內(nèi)，S中任何兩個集合的差集都可以表示為S中其它有限個不相交集合的并集，那么S就叫一個semiring。那么，只要對S中的集合定義好測度，那么由這些集合的可數(shù)次交集并集差集運算產(chǎn)生的那些集合的測度也就確定了。

一組集合，如果包含空集，并且對可數(shù)次交集并集補集運算是封閉的，那么這組集合其實就是一個Sigma代數(shù)。從某種意義上說，如果我們確定了一個覆蓋全集的semiring上的測度，那么整個sigma代數(shù)中所有集合的測度都確定了。這可以和線性空間做一個不太嚴格的類比。在線性代數(shù)里面，對于一個線性函數(shù)，如果它在基上的函數(shù)值確定了，那么它在整個線性空間的函數(shù)值也就確定了。對于測度，semiring好比是“基”，而sigma代數(shù)則好比是整個空間。

2.4 數(shù)星星的數(shù)學(xué)還在繼續(xù)：隨機測度

回到數(shù)星星的過程。上面我們討論過了，數(shù)星星其實就是一個測度。可是，每天晚上我們看到的星星分布都在變化的。也就是說，每數(shù)一次星星，就會得到一個不同的測度。這和擲骰子有點像。每擲一次骰子，我們的得到一個不同的點數(shù)——這個點數(shù)可以被看成是一個隨機變量，變量的值是1到6的整數(shù)。同樣的道理，星星的分布不確定，每數(shù)一次得到一個不同的測度——這也可以看成是一個“隨機變量”，只是這里變量的值是一個測度，而不是一個數(shù)字。這樣的一種以測度為值的“隨機變量”，叫做“隨機測度”(Random Measure)。這是在接下來的文章中要繼續(xù)講述的故事。

https://dahuasky.wordpress.com/2010/04/11/%E7%A9%BA%E9%97%B4%E7%82%B9%E8%BF%87%E7%A8%8B%E4%B8%8E%E9%9A%8F%E6%9C%BA%E6%B5%8B%E5%BA%A6%EF%BC%88%E4%B8%80%EF%BC%89%EF%BC%9A%E4%BB%8E%E6%95%B0%E6%98%9F%E6%98%9F%E8%AF%B4%E8%B5%B7/
https://dahuasky.wordpress.com/2010/04/21/%e7%a9%ba%e9%97%b4%e7%82%b9%e8%bf%87%e7%a8%8b%e4%b8%8e%e9%9a%8f%e6%9c%ba%e6%b5%8b%e5%ba%a6%ef%bc%88%e4%ba%8c%ef%bc%89%ef%bc%9a%e6%b5%8b%e5%ba%a6%e7%9a%84%e6%95%85%e4%ba%8b/

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的空间点过程(Point Processes)和随机测度(Random Measure)的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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