1. probability space 概率空間

1.1 概率基礎

1.2 概率空間

2. Filtration

filtration在錢敏平老師和龔光魯老師的《隨機過程論》中直接稱其為非降的KaTeX parse error: Undefined control sequence: \sigmma at position 1: \?s?i?g?m?m?a?代數族。如圖。

一般叫$\sigma$-代數流或$\sigma$-域流

在鞅論中的花體$F_t$，即filtration中文翻譯成“濾波”或“濾子”，它在本質上是一個非降子$\sigma$-代數。這個名詞的最早來源不是很清楚（有人說是從描述股票的價格變化過程中來的）。有時也把鞅論中(Ω,F,P,∪F_t)稱為“被濾過的概率空間”。

這個概念是很抽象很拓撲的。看到這個filtration第一感覺就是濾子，因為它附帶著一個序關系。

這是我搜集到的資料。看到這個概念的時候我就發現，啊，和我的生活好像啊。

下面解釋一下我作為一個初學者的理解。

概率空間里的F是一個可測集類。一個集合就是一個事件，那么可測集類就表示『我們用現有的方法能夠形成一個看待的事件』之總和。

比如我現在覺得國際政治很扯，當學霸性價比挺低。對我來說這兩個例子是幾乎不可能翻盤的，這樣在闡述問題時比較方便。那么就相當于：
學霸→性價比低。
國際政治→很扯淡。
對這兩件事我就能形成一個看待。但現在我對有些事情還沒法形成一個看待，譬如：《隨機過程》對我來說難嗎？可能是難，可能是不難。
對于給定時刻，每一座城市都有權力尋租嗎？可能是肯定，也可能是否定。
如果政治家有極強的同理心，對我們來說是好事嗎？可能是，可能不是。那么就相當于：

• 《隨機過程》→難，易
• 沒有權力尋租的城市→存在，
• 不存在強同理心政治家→好，壞傳統意義上

對以上三件我們無法確定的事，我們視為隨機變量并按照主觀or經驗or等分性來賦予其取兩個值的概率。這種賦予是不準確的，只有當我們必須要做出相關決策的時候，才不得不賦予一個。

但我們知道，有不可測集合。不是所有集合都能被定義一個合適的概率。（實變函數中的Vitali定理：實數上測度不為0的集合各自有個不可測子集）

所以我們就反過來想：既然以上三件事我們無法確定，那就干脆踹到可測集類F的外面去。我們不管它們，暫時也不做關于它們的決策。畢竟決策通常不是非做不可，擱置也是一種選擇。

世界是好還是壞，是正義還是邪惡？我拒絕給出一個理性的回答，因為這件事我們無法確定。
世界上有百分之多少的事情呢？有的事情，比如開車，可以被視為一件事情，也可以被視為『走到車門口、開車門、開油門、關閉車門、發動』這五件事情，從微觀來說又能被視為恒河沙數件事情（對應各個微觀粒子的移動）。

相比之下，即便世界上只有一個人，有足夠多的信息和資源，這個人有無限的自由和想象力，可是這個人還是無法真正做到『世界上的每一件事情』。人即便不被當局或外界限制權力，能做到的還是有限。世界那么大，人只需要活在其中100個單位的地方，知道其中1000個單位的事情就夠了。

所以我們宣稱，隨著這個人行為自由度的日益增長，對他來說，可以知道的事情不斷變多，他眼中的可測集類不斷變大。

小時候我對國際政治報以美好的期望，長大后盡管我還對很多事情報以積極的想象力，但某幾件事情就除外了。譬如國際政治。

隨著『能形成看待的事物的范圍』不斷增大，這樣就組成了一個filtration。

這是一個哲學上非常符合實際的理解。至于什么是Xn適應了Fn呢？那就是在同一時刻下，我要做出的決策不會超出我能看待的事物的范圍（言外之意就是，如果超出了，我就不做那些超出范圍的決策）。這和《實變函數》課程中『E∈M』這種限制一樣，是一種預防性的廢話。

3. $\sigma$-algebras

$\sigma$-algebras其實是個集合系,它保證在這里頭的集合,不管如何做交差并補,隨便做可列次,結果都還在這個系里面.這對運算的良定義是很關鍵的.

https://www.zhihu.com/question/36392820
https://zhuanlan.zhihu.com/p/38119668

總結

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