1. 矩陣論記號約定

2. 非負矩陣之Perron-Frobenius定理

1907 年 O. Perron 發現正矩陣的譜有特別有趣的性質。G. Frobenius 在 1908-1912 年間將 Perron 的工作推廣到不可約非負矩陣的情形，并得到了新的進一步結果。

Oskar Perron 在1907年發表了關于正矩陣的一些基本發現稱之為Perron定理，后來Frobenius將其推廣到非負矩陣上，稱為Perron-Frobenius定理。

2.1 H.Wielandt 的證明

Perron-Frobenius 理論有很多證明方式，下面介紹 H.Wielandt 的優美證明。

下面先證明一些預備定理，然后著手證明Perron-Frobenius定理，然后基于Perron-Frobenius定理，利用分析學的方法將其推廣到一般非負矩陣
Perron-Frobenius定理指出：
帶有正數條目的任何方形矩陣$A$都有一個唯一的特征向量 正數（最多乘以正標量），和 相應的特征值具有多重性且嚴格 大于任何其他特征值的絕對值。

2.1.1 矩陣可約

矩陣不可約等價于強連通


如果馬氏鏈常返（注意有限閉類是常返類），概率轉移矩陣的不可約性質保證了不變測度在忽略常數倍意義下存在且唯一[Norris. Markov Chains. Theorem 1.7.5.+1.7.6.]。

關于不可約矩陣有以下結論：

2.1.2 非負矩陣的特征值/特征向量

非負矩陣的譜半徑（下面有定義）是它的一個特征值，并且這個特征值對應著非負特征向量。

2.1.3 非負矩陣的Collatz-Wielandt公式

2.1.4 正矩陣和非負矩陣的Perron根與特征向量

2.1.5 不可約矩陣和本原矩陣的Perron-Frobenius定理

定理雖然很長但是整個過程十分優美，思路十分清晰，仔細分析每一步還是很容易看懂的，并且在證明的過程中就能體會為什么一開始要提出“非負不可約矩陣”的概念了，然后應用連續性把一些結果推廣到非負矩陣。

https://zhuanlan.zhihu.com/p/75236945
https://zhuanlan.zhihu.com/p/80952693
https://dna049.com/perronFrobeniusTheory/#%E5%BC%95%E7%90%86-1-%E8%AE%BE-A-%E6%98%AF%E4%B8%8D%E5%8F%AF%E7%BA%A6%E9%9D%9E%E8%B4%9F%E7%9F%A9%E9%98%B5%EF%BC%8C-y-in-mathbf-R-n-backslash-lbrace-0-rbrace-%E4%B8%94%E8%87%B3%E5%B0%91%E6%9C%89%E4%B8%80%E4%B8%AA%E5%88%86%E9%87%8F%E4%B8%BA-0-%E5%88%99-I-A-y-%E7%9A%84%E6%AD%A3%E5%88%86%E9%87%8F%E7%9A%84%E4%B8%AA%E6%95%B0%E5%A4%A7%E4%BA%8E-y-%E7%9A%84%E6%AD%A3%E5%88%86%E9%87%8F%E4%B8%AA%E6%95%B0
https://blog.csdn.net/u010510549/article/details/101145389
參考書籍：Horn R A , Johnson C R . Matrix Analysis[M]// false. 人民郵電出版社, 1985.

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的非负矩阵之Perron-Frobenius定理的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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