統(tǒng)計(jì)信號(hào)處理基礎(chǔ) - 估計(jì)與檢測(cè)理論 估計(jì)部分習(xí)題3.7公式推導(dǎo)

• 題目
• • 證明
  • 結(jié)論
  • 得證

題目

相信學(xué)習(xí)信號(hào)檢測(cè)與估計(jì)的童鞋們肯定看到過Steven M.Kay大牛的書，非常厚的一本，不得不說，人家的書就是寫得好，淺顯易懂（當(dāng)然是要從頭把基礎(chǔ)的東西都掌握了），在估計(jì)部分第三章中例題3.4中遇到了下面這個(gè)公式，在習(xí)題3.7中要求證明，首先看題目
$$\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N?1}\cos (4\pi f_{0}n+2?)\approx 0$$
要使上式成立，$f_0$必須滿足以下條件$$f_0=0,f_0=1/2$$

證明

令$$\alpha =4\pi f_0,\beta =2?$$
則$$\begin{array}{l}\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N?1}\cos (\alpha n+\beta )=\frac{1}{N}\mathrm{Re}\left(\sum _n{e}^{j(\alpha n+\beta )}\right)\\ =\frac{1}{N}\mathrm{Re}\left(e^{j\beta }?\frac{1?e^{j\alpha N}}{1?e^{j\alpha }}\right)\\ =\frac{1}{N}\mathrm{Re}\left(e^{j\beta }?\frac{e^{j\alpha N/2}}{e^{j\alpha /2}}?\frac{e^{?j\alpha N/2}?e^{j\alpha N/2}}{e^{?j\alpha /2}?e^{j\alpha /2}}\right)\\ =\frac{1}{N}\mathrm{Re}\left(e^{j\beta }?\frac{e^{j\alpha N/2}}{e^{j\alpha /2}}?\frac{e^{?j\alpha N/2}?e^{j\alpha N/2}}{e^{?j\alpha /2}?e^{j\alpha /2}}\right)\\ =\frac{1}{N}\mathrm{Re}\left(e^{j\beta }?e^{j\alpha \frac{N?1}{2}}?\frac{\sin (\alpha N/2)}{\sin (\alpha /2)}\right)\\ =\frac{\sin (\alpha N/2)}{N\sin (\alpha /2)}?\cos \left(\alpha \frac{N?1}{2}+\beta \right)\end{array}$$

結(jié)論

當(dāng)

得證

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的统计信号处理基础 - 估计与检测理论 估计部分习题3.7公式推导的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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